Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 3.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Étape 4.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 4.2.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Étape 4.2.3

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Étape 4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 4.7

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 4.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Étape 4.9

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.9.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 4.9.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 4.9.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Étape 4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Étape 4.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Étape 4.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$