Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \tan (\sqrt{3 x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\tan (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$3 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3

Comme $3^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{\frac{1}{2} + 1} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3^{\frac{1 + 2}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 12

Placez le signe moins devant la fraction.

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 13

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 14

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 15

Associez $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{2}$ et $\sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Étape 16

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$