Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \sin (x) - 4 \cos (x) + 3 e^{x} - 5 \ln (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \sin (x) - 4 \cos (x) + 3 e^{x} - 5 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \cos (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \cos (x) - 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 \cos (x) - 4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (x)]$ .

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Étape 5.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} - 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 5.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} - 5 \frac{1}{x}$

Étape 5.3

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x}$ .

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} + \frac{- 5}{x}$

Étape 5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \cos (x) + 4 \sin (x) + 3 e^{x} - \frac{5}{x}$

Étape 6

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{5}{x} + 3 e^{x} + 3 \cos (x) + 4 \sin (x)$