Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 300000 e^{- 0.09 x + \frac{\sqrt{x}}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $300000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}$ par rapport à $x$ est $300000 \frac{d}{d x} [e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}]$ .

$300000 \frac{d}{d x} [e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$300000 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$300000 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$300000 (e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} \frac{d}{d x} [- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 0.09 x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (\frac{d}{d x} [- 0.09 x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

Étape 3.2

Comme $- 0.09$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.09 x$ par rapport à $x$ est $- 0.09 \frac{d}{d x} [x]$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

Étape 3.4

Multipliez $- 0.09$ par $1$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}])$

Étape 3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 10

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2})$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{4})$

Étape 11.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$300000 e^{- 0.09 x + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}} (- 0.09 + \frac{1}{4 x^{\frac{1}{2}}})$