Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 30 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$

Étape 1

Réécrivez ${(65 + 5 t)}^{2}$ comme $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ .

$\frac{d}{d t} [30 ((65 + 5 t) (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Étape 2

Développez $(65 + 5 t) (65 + 5 t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [30 (65 (65 + 5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t (65 + 5 t)) - 1300 t]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d t} [30 (65 \cdot 65 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $65$ par $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 65 (5 t) + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Étape 3.1.2

Multipliez $5$ par $65$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 5 t \cdot 65 + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Étape 3.1.3

Multipliez $65$ par $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 t (5 t)) - 1300 t]$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t \cdot t) - 1300 t]$

Étape 3.1.5

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 (t \cdot t)) - 1300 t]$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 5 \cdot 5 t^{2}) - 1300 t]$

Étape 3.1.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 325 t + 325 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Étape 3.2

Additionnez $325 t$ et $325 t$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t]$

Étape 4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2}) - 1300 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

$\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d t} [30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})]$ .

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Étape 5.1

Comme $30$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $30 (4225 + 650 t + 25 t^{2})$ par rapport à $t$ est $30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d t} [4225 + 650 t + 25 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4225 + 650 t + 25 t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]$ .

$30 (\frac{d}{d t} [4225] + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.3

Comme $4225$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4225$ par rapport à $t$ est $0$ .

$30 (0 + \frac{d}{d t} [650 t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.4

Comme $650$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $650 t$ par rapport à $t$ est $650 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (0 + 650 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25 t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.6

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $25 t^{2}$ par rapport à $t$ est $25 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$30 (0 + 650 \cdot 1 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.8

Multipliez $650$ par $1$ .

$30 (0 + 650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.9

Additionnez $0$ et $650$ .

$30 (650 + 25 (2 t)) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 5.10

Multipliez $2$ par $25$ .

$30 (650 + 50 t) + \frac{d}{d t} [- 1300 t]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 1300 t]$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1300$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1300 t$ par rapport à $t$ est $- 1300 \frac{d}{d t} [t]$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300 \cdot 1$

Étape 6.3

Multipliez $- 1300$ par $1$ .

$30 (650 + 50 t) - 1300$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$30 \cdot 650 + 30 (50 t) - 1300$

Étape 7.2

Associez des termes.

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Étape 7.2.1

Multipliez $30$ par $650$ .

$19500 + 30 (50 t) - 1300$

Étape 7.2.2

Multipliez $50$ par $30$ .

$19500 + 1500 t - 1300$

Étape 7.2.3

Soustrayez $1300$ de $19500$ .

$1500 t + 18200$