Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {\cos (2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${\cos (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\cos (2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 6.3

Placez ${\cos (2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 8.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 8.3

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{\sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin (2 x)$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 ({\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 {\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Séparez les fractions.

$- (\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 13.2

Convertissez de $\frac{1}{{\cos (2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ à ${\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{\sin (2 x)}{1} {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 13.3

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$- (\sin (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 13.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \sin (2 x) {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- {\sec (2 x)}^{\frac{1}{2}} \sin (2 x)$