Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = {(8 - 5 x)}^{3} - 7 {(8 - 5 x)}^{2} + 3 (8 - 5 x) - 1$

Étape 1

Réécrivez ${(8 - 5 x)}^{2}$ comme $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 2

Développez $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 3.1.3

Multipliez $8$ par $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 3.2

Soustrayez $40 x$ de $- 40 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1]$

Étape 4

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(8 - 5 x)}^{3} - 7 (64 - 80 x + 25 x^{2}) + 3 (8 - 5 x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(8 - 5 x)}^{3}]$ .

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 8 - 5 x$ .

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Étape 5.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - 5 x$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.6

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.7

Soustrayez $5$ de $0$ .

$3 {(8 - 5 x)}^{2} \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 5.8

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})]$ .

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Étape 6.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 (64 - 80 x + 25 x^{2})$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \frac{d}{d x} [64 - 80 x + 25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 - 80 x + 25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (\frac{d}{d x} [64] + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.3

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 + \frac{d}{d x} [- 80 x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.4

Comme $- 80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 80 x$ par rapport à $x$ est $- 80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.6

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25 x^{2}$ par rapport à $x$ est $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 \cdot 1 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.8

Multipliez $- 80$ par $1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (0 - 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.9

Soustrayez $80$ de $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 25 (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.10

Multipliez $2$ par $25$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + \frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 (8 - 5 x)]$ .

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 (8 - 5 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \frac{d}{d x} [8 - 5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.6

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 (0 - 5) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.7

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) + 3 \cdot - 5 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.8

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 (- 80 + 50 x) - 15 + 0$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 7 \cdot - 80 - 7 (50 x) - 15 + 0$

Étape 9.2

Associez des termes.

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Étape 9.2.1

Multipliez $- 7$ par $- 80$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 7 (50 x) - 15 + 0$

Étape 9.2.2

Multipliez $50$ par $- 7$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} + 560 - 350 x - 15 + 0$

Étape 9.2.3

Soustrayez $15$ de $560$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545 + 0$

Étape 9.2.4

Additionnez $- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$ et $0$ .

$- 15 {(8 - 5 x)}^{2} - 350 x + 545$

Étape 9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1

Réécrivez ${(8 - 5 x)}^{2}$ comme $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ .

$- 15 ((8 - 5 x) (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Étape 9.3.2

Développez $(8 - 5 x) (8 - 5 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 15 (8 (8 - 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Étape 9.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x (8 - 5 x)) - 350 x + 545$

Étape 9.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 15 (8 \cdot 8 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Étape 9.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.3.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$- 15 (64 + 8 (- 5 x) - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Étape 9.3.3.1.2

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$- 15 (64 - 40 x - 5 x \cdot 8 - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Étape 9.3.3.1.3

Multipliez $8$ par $- 5$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 x (- 5 x)) - 350 x + 545$

Étape 9.3.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) - 350 x + 545$

Étape 9.3.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.3.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) - 350 x + 545$

Étape 9.3.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) - 350 x + 545$

Étape 9.3.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$- 15 (64 - 40 x - 40 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

Étape 9.3.3.2

Soustrayez $40 x$ de $- 40 x$ .

$- 15 (64 - 80 x + 25 x^{2}) - 350 x + 545$

Étape 9.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 15 \cdot 64 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Étape 9.3.5

Simplifiez

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Étape 9.3.5.1

Multipliez $- 15$ par $64$ .

$- 960 - 15 (- 80 x) - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Étape 9.3.5.2

Multipliez $- 80$ par $- 15$ .

$- 960 + 1200 x - 15 (25 x^{2}) - 350 x + 545$

Étape 9.3.5.3

Multipliez $25$ par $- 15$ .

$- 960 + 1200 x - 375 x^{2} - 350 x + 545$

Étape 9.4

Additionnez $- 960$ et $545$ .

$1200 x - 375 x^{2} - 350 x - 415$

Étape 9.5

Soustrayez $350 x$ de $1200 x$ .

$- 375 x^{2} + 850 x - 415$