Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = 12 x - x^{3} - \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x - x^{3} - \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Étape 2.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{\sqrt{x^{3}}}]$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 4.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{3}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 4.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 2}$ .

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Étape 4.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot - 2} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 4.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{3 \cdot - 1} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 4.6.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}))$

Étape 4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 4.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}))$

Étape 4.10.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Étape 4.11

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- x^{- 3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.12

Associez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{- 3}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}} x^{- 3}}{2})$

Étape 4.13

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.13.1

Déplacez $x^{- 3}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 (x^{- 3} x^{\frac{1}{2}})}{2})$

Étape 4.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- 3 + \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.13.3

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.13.4

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.13.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 3 \cdot 2 + 1}{2}}}{2})$

Étape 4.13.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.13.6.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 6 + 1}{2}}}{2})$

Étape 4.13.6.2

Additionnez $- 6$ et $1$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{\frac{- 5}{2}}}{2})$

Étape 4.13.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3 x^{- \frac{5}{2}}}{2})$

Étape 4.14

Placez $x^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 - 3 x^{2} - 3 (- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}})$

Étape 4.15

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$12 - 3 x^{2} + 3 \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4.16

Associez $3$ et $\frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{3 \cdot 3}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 4.17

Multipliez $3$ par $3$ .

$12 - 3 x^{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 x^{2} + 12 + \frac{9}{2 x^{\frac{5}{2}}}$