Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = \ln (6 x + \sqrt{36 x^{2} - 2})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{36 x^{2} - 2}$ comme ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d x} [{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 36 x^{2} - 2$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $36 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $36 x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2} {(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{{(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 9.3

Placez ${(36 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 2])$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $36 x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 11

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{2}$ par rapport à $x$ est $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 13

Multipliez $2$ par $36$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 14

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x + 0))$

Étape 15

Simplifiez les termes.

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Étape 15.1

Additionnez $72 x$ et $0$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (72 x))$

Étape 15.2

Associez $72$ et $\frac{1}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Étape 15.3

Associez $\frac{72}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{72 x}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 15.4

Factorisez $2$ à partir de $72 x$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 16

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})})$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{2 (36 x)}{2 {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.2

Multipliez $6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.3.1

Multipliez $\frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.3.2

Associez.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 + \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.5

Annulez le facteur commun de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.5.1

Annulez le facteur commun.

Étape 17.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.6

Factorisez $6$ à partir de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 36 x$ .

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Étape 17.6.1

Factorisez $6$ à partir de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6$ .

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 36 x}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.6.2

Factorisez $6$ à partir de $36 x$ .

$\frac{6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.6.3

Factorisez $6$ à partir de $6 \cdot {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 (6 x)$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.7

Factorisez ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 17.7.1

Déplacez ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.7.2

Factorisez ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $6 x {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 17.7.3

Factorisez ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.7.4

Factorisez ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x) + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 ({(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} + 6 x)}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.9

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}} (6 x + {(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 17.10

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{{(36 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{2}}}$