Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = \frac{5}{t^{\frac{1}{6}}} - \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}} - \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{5}{t^{\frac{1}{6}}}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{6}}}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{6}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{\frac{1}{6}}}$ comme ${(t^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{6}})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{\frac{1}{6}}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t^{\frac{1}{6}}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t^{\frac{1}{6}}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{6}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{6}}]) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{6}$ .

$5 (- {(t^{\frac{1}{6}})}^{- 2} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{1}{6}})}^{- 2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- t^{\frac{1}{6} \cdot - 2} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$5 (- t^{\frac{1}{2 (3)} \cdot - 2} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$5 (- t^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 (- t^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 (- t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$5 (- t^{\frac{- 1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{6}{6}$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{1 - 6}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.9.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{\frac{- 5}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} (\frac{1}{6} t^{- \frac{5}{6}})) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.11

Associez $\frac{1}{6}$ et $t^{- \frac{5}{6}}$ .

$5 (- t^{- \frac{1}{3}} \frac{t^{- \frac{5}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.12

Associez $\frac{t^{- \frac{5}{6}}}{6}$ et $t^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6}} t^{- \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.13

Multipliez $t^{- \frac{5}{6}}$ par $t^{- \frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.13.2

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.13.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.13.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.13.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 (- \frac{t^{- \frac{5}{6} - \frac{2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 (- \frac{t^{\frac{- 5 - 2}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.13.5

Soustrayez $2$ de $- 5$ .

$5 (- \frac{t^{\frac{- 7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.13.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (- \frac{t^{- \frac{7}{6}}}{6}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.14

Placez $t^{- \frac{7}{6}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{6 t^{\frac{7}{6}}}) + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.15

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \frac{1}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.16

Associez $- 5$ et $\frac{1}{6 t^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{- 5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{4}{t^{\frac{4}{5}}}$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}]$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{t^{\frac{4}{5}}}$ comme ${(t^{\frac{4}{5}})}^{- 1}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{4}{5}})}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = t^{\frac{4}{5}}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{4}{5}}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{4}{5}}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t^{\frac{4}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- {(t^{\frac{4}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{4}{5}}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- {(t^{\frac{4}{5}})}^{- 2} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(t^{\frac{4}{5}})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{\frac{4}{5} \cdot - 2} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Étape 3.5.2

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot - 2$ .

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Étape 3.5.2.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $- 2$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{\frac{4 \cdot - 2}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{\frac{- 8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Étape 3.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1}))$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{4 - 5}{5}}))$

Étape 3.9.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{\frac{- 1}{5}}))$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} (\frac{4}{5} t^{- \frac{1}{5}}))$

Étape 3.11

Associez $\frac{4}{5}$ et $t^{- \frac{1}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- t^{- \frac{8}{5}} \frac{4 t^{- \frac{1}{5}}}{5})$

Étape 3.12

Associez $\frac{4 t^{- \frac{1}{5}}}{5}$ et $t^{- \frac{8}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{- \frac{1}{5}} t^{- \frac{8}{5}}}{5})$

Étape 3.13

Multipliez $t^{- \frac{1}{5}}$ par $t^{- \frac{8}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.13.1

Déplacez $t^{- \frac{8}{5}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 (t^{- \frac{8}{5}} t^{- \frac{1}{5}})}{5})$

Étape 3.13.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{- \frac{8}{5} - \frac{1}{5}}}{5})$

Étape 3.13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{\frac{- 8 - 1}{5}}}{5})$

Étape 3.13.4

Soustrayez $1$ de $- 8$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{\frac{- 9}{5}}}{5})$

Étape 3.13.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4 t^{- \frac{9}{5}}}{5})$

Étape 3.14

Placez $t^{- \frac{9}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} - 4 (- \frac{4}{5 t^{\frac{9}{5}}})$

Étape 3.15

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + 4 \frac{4}{5 t^{\frac{9}{5}}}$

Étape 3.16

Associez $4$ et $\frac{4}{5 t^{\frac{9}{5}}}$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{4 \cdot 4}{5 t^{\frac{9}{5}}}$

Étape 3.17

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}} + \frac{16}{5 t^{\frac{9}{5}}}$

Étape 4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{16}{5 t^{\frac{9}{5}}} - \frac{5}{6 t^{\frac{7}{6}}}$