Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = \frac{t^{2}}{t^{2} + t - 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = t^{2} + t - 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + t - 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $t^{2} + t - 2$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + t - 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + t - 2]}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + t - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1 + 0)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 2.7

Additionnez $2 t + 1$ et $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + t - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 t^{2} + 2 t + 2 \cdot - 2) t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t + 1)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{2} t + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.1.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{2}) + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{1 + 2} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t \cdot t + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.2.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - t^{2} (2 t) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{2} t - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5

Multipliez $t^{2}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1.5.1

Déplacez $t$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t \cdot t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5.2

Multipliez $t$ par $t^{2}$ .

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Étape 3.4.1.5.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 (t^{1} t^{2}) - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{1 + 2} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 1 \cdot 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2} \cdot 1}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Associez les termes opposés dans $2 t^{3} + 2 t^{2} - 4 t - 2 t^{3} - t^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $2 t^{3}$ de $2 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t + 0 - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $2 t^{2} - 4 t$ et $0$ .

$\frac{2 t^{2} - 4 t - t^{2}}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $t^{2}$ de $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} - 4 t$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 4 t}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $t$ à partir de $- 4 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 4}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot - 4$ .

$\frac{t (t - 4)}{{(t^{2} + t - 2)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1

Factorisez $t^{2} + t - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 3.6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{t (t - 4)}{{((t - 1) (t + 2))}^{2}}$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de produit à $(t - 1) (t + 2)$ .

$\frac{t (t - 4)}{{(t - 1)}^{2} {(t + 2)}^{2}}$