Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ et $g (t) = {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 1)}^{3}] + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = 2 t^{2} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 t^{2} - 1$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 t^{2} - 1$ .

${(t + 1)}^{\frac{2}{3}} (3 {(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3 \cdot {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 1] + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{2} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t + \frac{d}{d t} [- 1]) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t + 0) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.7.1

Additionnez $4 t$ et $0$ .

$3 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} (4 t) + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 3.7.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $t + 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $t + 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 8.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3} {(t + 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 9.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2 {(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 9.3

Placez ${(t + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + {(2 t^{2} - 1)}^{3} (\frac{2}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Étape 9.4

Associez $\frac{2}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ et ${(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Étape 12

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Étape 13

Simplifiez l’expression.

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Étape 13.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Étape 13.2

Multipliez $\frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par $1$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 14

Pour écrire $12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t \cdot \frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 15

Associez $12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ et $\frac{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t (3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t (3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}) + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 17

Multipliez $3$ par $12$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t {(t + 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18

Multipliez ${(t + 1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(t + 1)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.1

Déplacez ${(t + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{36 ({(t + 1)}^{\frac{1}{3}} {(t + 1)}^{\frac{2}{3}}) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{1 + 2}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{\frac{3}{3}} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 18.5

Divisez $3$ par $3$ .

$\frac{36 {(t + 1)}^{1} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 19

Simplifiez $36 {(t + 1)}^{1} {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ .

$\frac{36 (t + 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.2.1

Factorisez ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ à partir de $(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

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Étape 20.2.1.1

Factorisez ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ à partir de $(36 t + 36 \cdot 1) {(2 t^{2} - 1)}^{2} t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + 2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.1.2

Factorisez ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ à partir de $2 {(2 t^{2} - 1)}^{3}$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.1.3

Factorisez ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ à partir de ${(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t) + {(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (2 t^{2} - 1))$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36 \cdot 1) t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.2

Multipliez $36$ par $1$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} ((36 t + 36) t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t \cdot t + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.4

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.2.4.1

Déplacez $t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 (t \cdot t) + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.4.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 2 (2 t^{2} - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 4 t^{2} + 2 \cdot - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (36 t^{2} + 36 t + 4 t^{2} - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.8

Additionnez $36 t^{2}$ et $4 t^{2}$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (40 t^{2} + 36 t - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.9

Factorisez $2$ à partir de $40 t^{2} + 36 t - 2$ .

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Étape 20.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $40 t^{2}$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 36 t - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.9.2

Factorisez $2$ à partir de $36 t$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 2 (18 t) - 2)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.9.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2}) + 2 (18 t) + 2 (- 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.9.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (20 t^{2}) + 2 (18 t)$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2} + 18 t) + 2 (- 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.2.9.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (20 t^{2} + 18 t) + 2 (- 1)$ .

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} (2 (20 t^{2} + 18 t - 1))}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{{(2 t^{2} - 1)}^{2} \cdot 2 (20 t^{2} + 18 t - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 20.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(2 t^{2} - 1)}^{2} (20 t^{2} + 18 t - 1)}{3 {(t + 1)}^{\frac{1}{3}}}$