Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 4}$ et $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 t^{2} - 4 t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 4 u^{- 5} \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 t^{2} - 4 t$ .

$- 4 {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 5} \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 t^{2} - 4 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

$- 4 {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 5} (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t^{2}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 4 {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 5} (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 5} (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$- 4 {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 5} (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

Étape 2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 4 t$ par rapport à $t$ est $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 4 {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 5} (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 5} (10 t - 4 \cdot 1)$

Étape 2.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 4 {(5 t^{2} - 4 t)}^{- 5} (10 t - 4)$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}} (10 t - 4)$

Étape 3.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}}$ .

$\frac{- 4}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}} (10 t - 4)$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}} (10 t - 4)$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $- \frac{4}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}} (10 t - 4)$ .

$- (10 t - 4) \frac{4}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$(- (10 t) - - 4) \frac{4}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}}$

Étape 3.5

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$(- 10 t - - 4) \frac{4}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}}$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$(- 10 t + 4) \frac{4}{{(5 t^{2} - 4 t)}^{5}}$

Étape 3.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Factorisez $t$ à partir de $5 t^{2} - 4 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1

Factorisez $t$ à partir de $5 t^{2}$ .

$(- 10 t + 4) \frac{4}{{(t (5 t) - 4 t)}^{5}}$

Étape 3.7.1.2

Factorisez $t$ à partir de $- 4 t$ .

$(- 10 t + 4) \frac{4}{{(t (5 t) + t \cdot - 4)}^{5}}$

Étape 3.7.1.3

Factorisez $t$ à partir de $t (5 t) + t \cdot - 4$ .

$(- 10 t + 4) \frac{4}{{(t (5 t - 4))}^{5}}$

Étape 3.7.2

Appliquez la règle de produit à $t (5 t - 4)$ .

$(- 10 t + 4) \frac{4}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.8

Multipliez $- 10 t + 4$ par $\frac{4}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$ .

$\frac{(- 10 t + 4) \cdot 4}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 t + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 t$ .

$\frac{(2 (- 5 t) + 4) \cdot 4}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{(2 (- 5 t) + 2 (2)) \cdot 4}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.9.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 5 t) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (- 5 t + 2) \cdot 4}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.9.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 (- 5 t + 2)}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 t$ .

$\frac{8 (- (5 t) + 2)}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.11

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{8 (- (5 t) - 1 (- 2))}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 t) - 1 (- 2)$ .

$\frac{8 (- (5 t - 2))}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.13

Réécrivez $- (5 t - 2)$ comme $- 1 (5 t - 2)$ .

$\frac{8 (- 1 (5 t - 2))}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$

Étape 3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 (5 t - 2)}{t^{5} {(5 t - 4)}^{5}}$