Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = {(t^{2} + t)}^{4} (2 t^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(t^{2} + t)}^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cdot {(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 {(t^{2} + t)}^{4} t^{2}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4} t^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = {(t^{2} + t)}^{4}$ et $g (t) = t^{2}$ .

$2 ({(t^{2} + t)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 ({(t^{2} + t)}^{4} (2 t) + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

Étape 3.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(t^{2} + t)}^{4}$ .

$2 (2 \cdot {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} \frac{d}{d t} [{(t^{2} + t)}^{4}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = t^{2} + t$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{2} + t$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} + t$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2} + t]))$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [t])))$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + \frac{d}{d t} [t])))$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t + t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 {(t^{2} + t)}^{4} t) + 2 (t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 ({(t^{2} + t)}^{4} t) + 2 (t^{2} (4 {(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 {(t^{2} + t)}^{4} t + 8 (t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1)))$

Étape 6.4

Factorisez $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ à partir de $4 {(t^{2} + t)}^{4} t + 8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ à partir de $4 {(t^{2} + t)}^{4} t$ .

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$

Étape 6.4.2

Factorisez $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ à partir de $8 t^{2} ({(t^{2} + t)}^{3} (2 t + 1))$ .

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 4 {(t^{2} + t)}^{3} t (2 t (2 t + 1))$

Étape 6.4.3

Factorisez $4 {(t^{2} + t)}^{3} t$ à partir de $4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t) + 4 {(t^{2} + t)}^{3} t (2 t (2 t + 1))$ .

$4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.5

Réorganisez les facteurs de $4 {(t^{2} + t)}^{3} t ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$ .

$4 t {(t^{2} + t)}^{3} ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.6

Utilisez le théorème du binôme.

$4 t ({(t^{2})}^{3} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{3}$ .

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Étape 6.7.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 t (t^{2 \cdot 3} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 t (t^{6} + 3 {(t^{2})}^{2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{2 \cdot 2} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{4} t + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.3

Multipliez $t^{4}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.3.1

Déplacez $t$ .

$4 t (t^{6} + 3 (t \cdot t^{4}) + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.3.2

Multipliez $t$ par $t^{4}$ .

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Étape 6.7.3.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$4 t (t^{6} + 3 (t^{1} t^{4}) + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 t (t^{6} + 3 t^{1 + 4} + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{2} t^{2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.4

Multipliez $t^{2}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.4.1

Déplacez $t^{2}$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 (t^{2} t^{2}) + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{2 + 2} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.7.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 t (t^{6} + 3 t^{5} + 3 t^{4} + t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.8

Appliquez la propriété distributive.

$(4 t \cdot t^{6} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9

Simplifiez

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Étape 6.9.1

Multipliez $t$ par $t^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.1.1

Déplacez $t^{6}$ .

$(4 (t^{6} t) + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.1.2

Multipliez $t^{6}$ par $t$ .

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Étape 6.9.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(4 (t^{6} t^{1}) + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 t^{6 + 1} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.1.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$(4 t^{7} + 4 t (3 t^{5}) + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 t (3 t^{4}) + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t \cdot t^{3}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.4

Multipliez $t$ par $t^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.4.1

Déplacez $t^{3}$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 (t^{3} t)) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.4.2

Multipliez $t^{3}$ par $t$ .

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Étape 6.9.4.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 (t^{3} t^{1})) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{3 + 1}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.9.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{5} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.10.1

Multipliez $t$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.10.1.1

Déplacez $t^{5}$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 (t^{5} t) + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.1.2

Multipliez $t^{5}$ par $t$ .

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Étape 6.10.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 (t^{5} t^{1}) + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t^{5 + 1} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.1.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$(4 t^{7} + 4 \cdot 3 t^{6} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t \cdot t^{4} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.3

Multipliez $t$ par $t^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.10.3.1

Déplacez $t^{4}$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{4} t) + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.3.2

Multipliez $t^{4}$ par $t$ .

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Étape 6.10.3.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{4} t^{1}) + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{4 + 1} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.3.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{5} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.10.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) ((t + 1) t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t \cdot t + 1 t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.11.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + 1 t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.11.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 t (2 t + 1))$

Étape 6.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 t (2 t) + 2 t \cdot 1)$

Étape 6.11.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1)$

Étape 6.11.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t)$

Étape 6.11.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.7.1

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.11.7.1.1

Déplacez $t$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t)$

Étape 6.11.7.1.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 2 \cdot 2 t^{2} + 2 t)$

Étape 6.11.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (t^{2} + t + 4 t^{2} + 2 t)$

Étape 6.12

Additionnez $t^{2}$ et $4 t^{2}$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + t + 2 t)$

Étape 6.13

Additionnez $t$ et $2 t$ .

$(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + 3 t)$

Étape 6.14

Développez $(4 t^{7} + 12 t^{6} + 12 t^{5} + 4 t^{4}) (5 t^{2} + 3 t)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 t^{7} (5 t^{2}) + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.15.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 5 t^{7} t^{2} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.2

Multipliez $t^{7}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.15.2.1

Déplacez $t^{2}$ .

$4 \cdot 5 (t^{2} t^{7}) + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cdot 5 t^{2 + 7} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.2.3

Additionnez $2$ et $7$ .

$4 \cdot 5 t^{9} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 t^{9} + 4 t^{7} (3 t) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{7} t + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.5

Multipliez $t^{7}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.15.5.1

Déplacez $t$ .

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 (t \cdot t^{7}) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.5.2

Multipliez $t$ par $t^{7}$ .

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Étape 6.15.5.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 (t^{1} t^{7}) + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{1 + 7} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.5.3

Additionnez $1$ et $7$ .

$20 t^{9} + 4 \cdot 3 t^{8} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 t^{6} (5 t^{2}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{6} t^{2} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.8

Multipliez $t^{6}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.15.8.1

Déplacez $t^{2}$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 (t^{2} t^{6}) + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{2 + 6} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.8.3

Additionnez $2$ et $6$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 12 \cdot 5 t^{8} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.9

Multipliez $12$ par $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 t^{6} (3 t) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{6} t + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.11

Multipliez $t^{6}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.15.11.1

Déplacez $t$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 (t \cdot t^{6}) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.11.2

Multipliez $t$ par $t^{6}$ .

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Étape 6.15.11.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 (t^{1} t^{6}) + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{1 + 6} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.11.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 12 \cdot 3 t^{7} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.12

Multipliez $12$ par $3$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 t^{5} (5 t^{2}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.13

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{5} t^{2} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.14

Multipliez $t^{5}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.15.14.1

Déplacez $t^{2}$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 (t^{2} t^{5}) + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{2 + 5} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.14.3

Additionnez $2$ et $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 12 \cdot 5 t^{7} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.15

Multipliez $12$ par $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 t^{5} (3 t) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{5} t + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.17

Multipliez $t^{5}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.15.17.1

Déplacez $t$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 (t \cdot t^{5}) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.17.2

Multipliez $t$ par $t^{5}$ .

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Étape 6.15.17.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 (t^{1} t^{5}) + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.17.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{1 + 5} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.17.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 12 \cdot 3 t^{6} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.18

Multipliez $12$ par $3$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 t^{4} (5 t^{2}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.19

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{4} t^{2} + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.20

Multipliez $t^{4}$ par $t^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.15.20.1

Déplacez $t^{2}$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 (t^{2} t^{4}) + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{2 + 4} + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.20.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 4 \cdot 5 t^{6} + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.21

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 t^{4} (3 t)$

Étape 6.15.22

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{4} t$

Étape 6.15.23

Multipliez $t^{4}$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.15.23.1

Déplacez $t$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 (t \cdot t^{4})$

Étape 6.15.23.2

Multipliez $t$ par $t^{4}$ .

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Étape 6.15.23.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 (t^{1} t^{4})$

Étape 6.15.23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{1 + 4}$

Étape 6.15.23.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 4 \cdot 3 t^{5}$

Étape 6.15.24

Multipliez $4$ par $3$ .

$20 t^{9} + 12 t^{8} + 60 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

Étape 6.16

Additionnez $12 t^{8}$ et $60 t^{8}$ .

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 36 t^{7} + 60 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

Étape 6.17

Additionnez $36 t^{7}$ et $60 t^{7}$ .

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 96 t^{7} + 36 t^{6} + 20 t^{6} + 12 t^{5}$

Étape 6.18

Additionnez $36 t^{6}$ et $20 t^{6}$ .

$20 t^{9} + 72 t^{8} + 96 t^{7} + 56 t^{6} + 12 t^{5}$