Calcul infinitésimal Exemples

$h (s) = \frac{s}{\sqrt{s} - 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{s}$ comme $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{s}{s^{\frac{1}{2}} - 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ est $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ où $f (s) = s$ et $g (s) = s^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(s^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $s^{\frac{1}{2}} - 1$ par $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s \frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}} - 1]}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $s^{\frac{1}{2}} - 1$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{d}{d s} [s^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2} s^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{s^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 8.3

Placez $s^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d s} [- 1])}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $s$ est $0$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s (\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 10

Associez les fractions.

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Étape 10.1

Additionnez $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - s \frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 10.2

Associez $\frac{1}{2 s^{\frac{1}{2}}}$ et $s$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s}{2 s^{\frac{1}{2}}}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 10.3

Placez $s^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s \cdot s^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 11

Multipliez $s$ par $s^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Multipliez $s$ par $s^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 11.1.1

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{1} s^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{1 - \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 11.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 11.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 11.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 12

Pour écrire $s^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 13

Associez $s^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 15

Déplacez $2$ à gauche de $s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot s^{\frac{1}{2}} - s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 16

Soustrayez $s^{\frac{1}{2}}$ de $2 s^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 17

Multipliez $\frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1}{{(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 18

Associez.

$\frac{2 (\frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} - 1)}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 19

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{s^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 20.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{s^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 1}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$

Étape 21

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{s^{\frac{1}{2}} - 2}{2 {(s^{\frac{1}{2}} - 1)}^{2}}$