Calcul infinitésimal Exemples

$h (t) = 11 arccot (t) + 11 arccot (\frac{1}{t})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $11 arccot (t) + 11 arccot (\frac{1}{t})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [11 arccot (t)] + \frac{d}{d t} [11 arccot (\frac{1}{t})]$ .

$\frac{d}{d t} [11 arccot (t)] + \frac{d}{d t} [11 arccot (\frac{1}{t})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [11 arccot (t)]$ .

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Étape 2.1

Comme $11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $11 arccot (t)$ par rapport à $t$ est $11 \frac{d}{d t} [arccot (t)]$ .

$11 \frac{d}{d t} [arccot (t)] + \frac{d}{d t} [11 arccot (\frac{1}{t})]$

Étape 2.2

La dérivée de $arccot (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{1 + t^{2}}$ .

$11 (- \frac{1}{1 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [11 arccot (\frac{1}{t})]$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$- 11 \frac{1}{1 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [11 arccot (\frac{1}{t})]$

Étape 2.4

Associez $- 11$ et $\frac{1}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{- 11}{1 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [11 arccot (\frac{1}{t})]$

Étape 2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [11 arccot (\frac{1}{t})]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [11 arccot (\frac{1}{t})]$ .

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Étape 3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $11 arccot (\frac{1}{t})$ par rapport à $t$ est $11 \frac{d}{d t} [arccot (\frac{1}{t})]$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 \frac{d}{d t} [arccot (\frac{1}{t})]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = arccot (t)$ et $g (t) = \frac{1}{t}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{t}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 (\frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $arccot (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 (- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{t}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 (- \frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{1}{t}$ comme $t^{- 1}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 (- \frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}} \frac{d}{d t} [t^{- 1}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 (- \frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}} (- t^{- 2}))$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 (1 \frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}} t^{- 2})$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 (\frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}} t^{- 2})$

Étape 3.7

Associez $\frac{1}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}}$ et $t^{- 2}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 \frac{t^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{t})}^{2}}$

Étape 3.8

Placez $t^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + 11 \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{t})}^{2}) t^{2}}$

Étape 3.9

Associez $11$ et $\frac{1}{(1 + {(\frac{1}{t})}^{2}) t^{2}}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{11}{(1 + {(\frac{1}{t})}^{2}) t^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{t}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{11}{(1 + \frac{1^{2}}{t^{2}}) t^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{11}{1 t^{2} + \frac{1^{2}}{t^{2}} t^{2}}$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $t^{2}$ par $1$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{11}{t^{2} + \frac{1^{2}}{t^{2}} t^{2}}$

Étape 4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{11}{t^{2} + \frac{1}{t^{2}} t^{2}}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{t^{2}}$ et $t^{2}$ .

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{11}{t^{2} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{11}{t^{2} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{11}{1 + t^{2}} + \frac{11}{t^{2} + 1}$

Étape 4.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{11}{t^{2} + 1} + \frac{11}{t^{2} + 1}$

Étape 4.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 11 + 11}{t^{2} + 1}$

Étape 4.3.7

Additionnez $- 11$ et $11$ .

$\frac{0}{t^{2} + 1}$

Étape 4.4

Divisez $0$ par $t^{2} + 1$ .

$0$