Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = {(\sqrt{x + 6})}^{4}$

Étape 1

Réécrivez ${(\sqrt{x + 6})}^{4}$ comme ${(x + 6)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 6}$ comme ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{4}]$

Étape 1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 4}]$

Étape 1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{4}{2}}]$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}]$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}]$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}]$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{\frac{2}{1}}]$

Étape 1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 6)}^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 6$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 6$ .

$2 (x + 6) \frac{d}{d x} [x + 6]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$2 (x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [6])$

Étape 3.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x + 6) (1 + 0)$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (x + 6) \cdot 1$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (x + 6)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 \cdot 6$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$2 x + 12$