Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = \frac{5 x + 1}{(x + 3) (x - 5)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x + 1$ et $g (x) = (x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1] - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 + \frac{d}{d x} [1]) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) (5 + 0) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{(x + 3) (x - 5) \cdot 5 - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $5$ à gauche de $(x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{5 \cdot ((x + 3) (x - 5)) - (5 x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 5)]}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x - 5$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) ((x + 3) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3])}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) (1 + 0))}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + (x - 5) \cdot 1)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.8.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (x + 3 + x - 5)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x + 3 - 5)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 4.8.4

Soustrayez $5$ de $3$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{((x + 3) (x - 5))}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $(x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{5 (x + 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 3) (x - 5) - (5 x + 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 x + 5 \cdot 3) (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{(5 x + 15) (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Développez $(5 x + 15) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x (x - 5) + 15 (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 15 (x - 5) + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot - 5 + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3.1.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2} - 25 x + 15 x + 15 \cdot - 5 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3.1.3

Multipliez $15$ par $- 5$ .

$\frac{5 x^{2} - 25 x + 15 x - 75 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3.2

Additionnez $- 25 x$ et $15 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- (5 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- 5 x - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 + (- 5 x - 1) (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.5

Développez $(- 5 x - 1) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 x (2 x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 5 \cdot 2 x^{2} - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6.1.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} - 5 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 2 x - 1 \cdot - 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 10 x - 2 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.1.6.2

Soustrayez $2 x$ de $10 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x - 75 - 10 x^{2} + 8 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Soustrayez $10 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 10 x - 75 + 8 x + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.3

Additionnez $- 10 x$ et $8 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 2 x - 75 + 2}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.4.4

Additionnez $- 75$ et $2$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 2 x - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - 2 x - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - (2 x) - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x) - 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.8

Réécrivez $- 73$ comme $- 1 (73)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 x^{2} + 2 x) - 1 (73)$ .

$\frac{- (5 x^{2} + 2 x + 73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.10

Réécrivez $- (5 x^{2} + 2 x + 73)$ comme $- 1 (5 x^{2} + 2 x + 73)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} + 2 x + 73)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 5.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 x^{2} + 2 x + 73}{{(x + 3)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$