Calcul infinitésimal Exemples

$p (x) = \frac{x - 4}{x^{3} - 16 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 4$ et $g (x) = x^{3} - 16 x$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{3} - 16 x) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $x^{3} - 16 x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} - 16 x]}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x])}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x])}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (3 x^{2} - 16 \cdot 1)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 2.9

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - (x - 4) (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 16 x + (- x - - 4) (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 16 x + (- x + 4) (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Développez $(- x + 4) (3 x^{2} - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 16 x - x (3 x^{2} - 16) + 4 (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 16 x - x (3 x^{2}) - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2} - 16)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 16 x - x (3 x^{2}) - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 x \cdot x^{2} - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 (x^{2} x) - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 x^{2 + 1} - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 1 \cdot 3 x^{3} - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 3 x^{3} - x \cdot - 16 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.4

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 3 x^{3} + 16 x + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 3 x^{3} + 16 x + 12 x^{2} + 4 \cdot - 16}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.1.3.6

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$\frac{x^{3} - 16 x - 3 x^{3} + 16 x + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} - 16 x - 3 x^{3} + 16 x + 12 x^{2} - 64$ .

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $- 16 x$ et $16 x$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{3} + 0 + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $x^{3} - 3 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{3} + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $3 x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3} + 12 x^{2} - 64$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 12 x^{2} - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (6 x^{2}) - 64}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 32)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3}) + 2 (6 x^{2})$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2}) + 2 (- 32)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} + 6 x^{2}) + 2 (- 32)$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x^{3} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 16 x$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x \cdot x^{2} - 16 x)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 16 x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 16)}^{2}}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x (x^{2} - 16))}^{2}}$

Étape 3.4.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x (x^{2} - 4^{2}))}^{2}}$

Étape 3.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x (x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Étape 3.4.4

Appliquez la règle de produit à $x (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x (x + 4))}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x \cdot x + x \cdot 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x^{2} + x \cdot 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.7

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{{(x^{2} + 4 \cdot x)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.8

Réécrivez ${(x^{2} + 4 x)}^{2}$ comme $(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.9

Développez $(x^{2} + 4 x) (x^{2} + 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} (x^{2} + 4 x) + 4 x (x^{2} + 4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + 4 x (x^{2} + 4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.10.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.10.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + x^{2} (4 x) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{2} x + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.10.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.10.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.10.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 (x^{2} x) + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.4.10.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x (4 x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x \cdot x) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.10.1.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 (x \cdot x)) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{3} + 16 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.10.2

Additionnez $4 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.11

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2}$ .

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Étape 3.4.11.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + 8 x^{3} + 16 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.11.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + x^{2} (8 x) + 16 x^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.11.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $16 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} x^{2} + x^{2} (8 x) + x^{2} \cdot 16) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.11.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (8 x)$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{(x^{2} (x^{2} + 8 x) + x^{2} \cdot 16) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.11.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 8 x) + x^{2} \cdot 16$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} (x^{2} + 8 x + 16) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.12

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.12.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} (x^{2} + 8 x + 4^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.12.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 3.4.12.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.4.12.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{2 (- x^{3} + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) + 6 x^{2} - 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (x^{3} - 6 x^{2}) - 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.8

Réécrivez $- 32$ comme $- 1 (32)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (32))}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (32)$ .

$\frac{2 (- (x^{3} - 6 x^{2} + 32))}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.10

Réécrivez $- (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$ comme $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} + 32)$ .

$\frac{2 (- 1 (x^{3} - 6 x^{2} + 32))}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 (x^{3} - 6 x^{2} + 32)}{x^{2} {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$