Calcul infinitésimal Exemples

$P (x) = (\frac{4 x - 8}{8 x - 4})$

Étape 1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun à $4 x - 8$ et $8 x - 4$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x) - 8}{8 x - 4})]$

Étape 1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x) + 4 (- 2)}{8 x - 4})]$

Étape 1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{8 x - 4})]$

Étape 1.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) - 4})]$

Étape 1.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) + 4 (- 1)})]$

Étape 1.1.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)})]$

Étape 1.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [(\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)})]$

Étape 1.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [(\frac{x - 2}{2 x - 1})]$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

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Étape 1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x) - 8}{8 x - 4}]$

Étape 1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x) + 4 (- 2)}{8 x - 4}]$

Étape 1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{8 x - 4}]$

Étape 1.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) - 4}]$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x) + 4 (- 1)}]$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)}]$

Étape 1.2.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x - 2)}{4 (2 x - 1)}]$

Étape 1.2.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{2 x - 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2 x - 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 x - 1 - (x - 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 (x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot - 2$ .

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 1 + 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{3}{{(2 x - 1)}^{2}}$