Calcul infinitésimal Exemples

$p (t) = 400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $400 (t + \ln (24 + t^{2})) + 60000 - 400 \ln (24)$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$ .

$\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [400 (t + \ln (24 + t^{2}))]$ .

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Étape 2.1

Comme $400$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $400 (t + \ln (24 + t^{2}))$ par rapport à $t$ est $400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})]$ .

$400 \frac{d}{d t} [t + \ln (24 + t^{2})] + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + \ln (24 + t^{2})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]$ .

$400 (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$400 (1 + \frac{d}{d t} [\ln (24 + t^{2})]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 24 + t^{2}$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$400 (1 + \frac{1}{u} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $24 + t^{2}$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} \frac{d}{d t} [24 + t^{2}]) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 + t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (\frac{d}{d t} [24] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.6

Comme $24$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $24$ par rapport à $t$ est $0$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (0 + 2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.8

Additionnez $0$ et $2 t$ .

$400 (1 + \frac{1}{24 + t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.9

Associez $2$ et $\frac{1}{24 + t^{2}}$ .

$400 (1 + \frac{2}{24 + t^{2}} t) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.10

Associez $\frac{2}{24 + t^{2}}$ et $t$ .

$400 (1 + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.11

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$400 (\frac{24 + t^{2}}{24 + t^{2}} + \frac{2 t}{24 + t^{2}}) + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$400 \frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 2.13

Associez $400$ et $\frac{24 + t^{2} + 2 t}{24 + t^{2}}$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + \frac{d}{d t} [60000] + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1

Comme $60000$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $60000$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + \frac{d}{d t} [- 400 \ln (24)]$

Étape 3.2

Comme $- 400 \ln (24)$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 400 \ln (24)$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{400 (24 + t^{2} + 2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{400 \cdot 24 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $400$ par $24$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 400 (2 t)}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $400$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0 + 0$

Étape 4.2.3

Additionnez $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ et $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}} + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$ et $0$ .

$\frac{9600 + 400 t^{2} + 800 t}{24 + t^{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{400 t^{2} + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Étape 4.4

Factorisez $400$ à partir de $400 t^{2} + 800 t + 9600$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $400$ à partir de $400 t^{2}$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 800 t + 9600}{t^{2} + 24}$

Étape 4.4.2

Factorisez $400$ à partir de $800 t$ .

$\frac{400 (t^{2}) + 400 (2 t) + 9600}{t^{2} + 24}$

Étape 4.4.3

Factorisez $400$ à partir de $9600$ .

$\frac{400 t^{2} + 400 (2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Étape 4.4.4

Factorisez $400$ à partir de $400 t^{2} + 400 (2 t)$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24}{t^{2} + 24}$

Étape 4.4.5

Factorisez $400$ à partir de $400 (t^{2} + 2 t) + 400 \cdot 24$ .

$\frac{400 (t^{2} + 2 t + 24)}{t^{2} + 24}$