Calcul infinitésimal Exemples

$P (t) = t^{4} + 5 t^{3} - 2 t^{2} + \frac{6}{7 t + 4}$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} + 5 t^{3} - 2 t^{2} + \frac{6}{7 t + 4}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t^{3}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$4 t^{3} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 t^{3} + 5 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{6}{7 t + 4}]$ .

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Étape 4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{6}{7 t + 4}$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t + 4}]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{7 t + 4}]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{1}{7 t + 4}$ comme ${(7 t + 4)}^{- 1}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 \frac{d}{d t} [{(7 t + 4)}^{- 1}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 7 t + 4$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 t + 4$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 t + 4$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} \frac{d}{d t} [7 t + 4])$

Étape 4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 t + 4$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [4]))$

Étape 4.5

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7 t$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]))$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]))$

Étape 4.7

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4$ par rapport à $t$ est $0$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 \cdot 1 + 0))$

Étape 4.8

Multipliez $7$ par $1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} (7 + 0))$

Étape 4.9

Additionnez $7$ et $0$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- {(7 t + 4)}^{- 2} \cdot 7)$

Étape 4.10

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + 6 (- 7 {(7 t + 4)}^{- 2})$

Étape 4.11

Multipliez $- 7$ par $6$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - 42 {(7 t + 4)}^{- 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - 42 \frac{1}{{(7 t + 4)}^{2}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $- 42$ et $\frac{1}{{(7 t + 4)}^{2}}$ .

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t + \frac{- 42}{{(7 t + 4)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 t^{3} + 15 t^{2} - 4 t - \frac{42}{{(7 t + 4)}^{2}}$