Calcul infinitésimal Exemples

$p (t) = \frac{14 t}{t^{2} + 60} + 0.18$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{14 t}{t^{2} + 60} + 0.18$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\frac{14 t}{t^{2} + 60}] + \frac{d}{d t} [0.18]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{14 t}{t^{2} + 60}] + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{14 t}{t^{2} + 60}]$ .

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Étape 2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{14 t}{t^{2} + 60}$ par rapport à $t$ est $14 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 60}]$ .

$14 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 60}] + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = t^{2} + 60$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 60]}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 60]}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 60$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [60]$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [60])}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \cdot 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [60])}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.6

Comme $60$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $60$ par rapport à $t$ est $0$ .

$14 \frac{(t^{2} + 60) \cdot 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.7

Multipliez $t^{2} + 60$ par $1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.8

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - t (2 t)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.10

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.11

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$14 \frac{t^{2} + 60 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.14

Soustrayez $2 t^{2}$ de $t^{2}$ .

$14 \frac{- t^{2} + 60}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 2.15

Associez $14$ et $\frac{- t^{2} + 60}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$ .

$\frac{14 (- t^{2} + 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + \frac{d}{d t} [0.18]$

Étape 3

Comme $0.18$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.18$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{14 (- t^{2} + 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{14 (- t^{2}) + 14 \cdot 60}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + 0$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$\frac{- 14 t^{2} + 14 \cdot 60}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + 0$

Étape 4.2.2

Multipliez $14$ par $60$ .

$\frac{- 14 t^{2} + 840}{{(t^{2} + 60)}^{2}} + 0$

Étape 4.2.3

Additionnez $\frac{- 14 t^{2} + 840}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$ et $0$ .

$\frac{- 14 t^{2} + 840}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Étape 4.3

Factorisez $14$ à partir de $- 14 t^{2} + 840$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $14$ à partir de $- 14 t^{2}$ .

$\frac{14 (- t^{2}) + 840}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Factorisez $14$ à partir de $840$ .

$\frac{14 (- t^{2}) + 14 (60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Factorisez $14$ à partir de $14 (- t^{2}) + 14 (60)$ .

$\frac{14 (- t^{2} + 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Étape 4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2}$ .

$\frac{14 (- (t^{2}) + 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $60$ comme $- 1 (- 60)$ .

$\frac{14 (- (t^{2}) - 1 (- 60))}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2}) - 1 (- 60)$ .

$\frac{14 (- (t^{2} - 60))}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Étape 4.7

Réécrivez $- (t^{2} - 60)$ comme $- 1 (t^{2} - 60)$ .

$\frac{14 (- 1 (t^{2} - 60))}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14 (t^{2} - 60)}{{(t^{2} + 60)}^{2}}$