Calcul infinitésimal Exemples

$P (k) = \frac{160}{1 + 0.05 e^{2 (- k)}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d}{d k} [\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Étape 1.2

Comme $160$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $\frac{160}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ par rapport à $k$ est $160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$ .

$160 \frac{d}{d k} [\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}]$

Étape 1.3

Réécrivez $\frac{1}{1 + 0.05 e^{- 2 k}}$ comme ${(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}$ .

$160 \frac{d}{d k} [{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ est $f' (g (k)) g' (k)$ où $f (k) = k^{- 1}$ et $g (k) = 1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$160 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ .

$160 (- {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $160$ .

$- 160 ({(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [1 + 0.05 e^{- 2 k}])$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 0.05 e^{- 2 k}$ par rapport à $k$ est $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $1$ par rapport à $k$ est $0$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}])$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [0.05 e^{- 2 k}]$

Étape 3.5

Comme $0.05$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $0.05 e^{- 2 k}$ par rapport à $k$ est $0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$ .

$- 160 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (0.05 \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}])$

Étape 3.6

Multipliez $0.05$ par $- 160$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} \frac{d}{d k} [e^{- 2 k}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ est $f' (g (k)) g' (k)$ où $f (k) = e^{k}$ et $g (k) = - 2 k$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 k$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \frac{d}{d k} [- 2 k])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $- 2 k$ par rapport à $k$ est $- 2 \frac{d}{d k} [k]$ .

$- 8 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (- 2 \frac{d}{d k} [k]))$

Étape 5.2

Multipliez $- 2$ par $- 8$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} (\frac{d}{d k} [k]))$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} (e^{- 2 k} \cdot 1)$

Étape 5.4

Multipliez $e^{- 2 k}$ par $1$ .

$16 {(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{- 2} e^{- 2 k}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Associez $16$ et $\frac{1}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ .

$\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}} e^{- 2 k}$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{16}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$ et $e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(1 + 0.05 e^{- 2 k})}^{2}}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 1)}^{2}}$

Étape 6.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Factorisez $0.05$ à partir de $0.05 e^{- 2 k} + 1$ .

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Étape 6.4.1.1

Factorisez $0.05$ à partir de $0.05 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k}) + 1)}^{2}}$

Étape 6.4.1.2

Factorisez $0.05$ à partir de $1$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20)}^{2}}$

Étape 6.4.1.3

Factorisez $0.05$ à partir de $0.05 e^{- 2 k} + 0.05 \cdot 20$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{(0.05 (e^{- 2 k} + 20))}^{2}}$

Étape 6.4.2

Appliquez la règle de produit à $0.05 (e^{- 2 k} + 20)$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{{0.05}^{2} {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Étape 6.4.3

Élevez $0.05$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 e^{- 2 k}}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Étape 6.5

Factorisez $16$ à partir de $16 e^{- 2 k}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Étape 6.6

Factorisez $0.0025$ à partir de $0.0025 {(e^{- 2 k} + 20)}^{2}$ .

$\frac{16 (e^{- 2 k})}{0.0025 ({(e^{- 2 k} + 20)}^{2})}$

Étape 6.7

Séparez les fractions.

$\frac{16}{0.0025} \cdot \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Étape 6.8

Divisez $16$ par $0.0025$ .

$6400 \frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$

Étape 6.9

Associez $6400$ et $\frac{e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$ .

$\frac{6400 e^{- 2 k}}{{(e^{- 2 k} + 20)}^{2}}$