Calcul infinitésimal Exemples

$N (s) = \frac{83 s}{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}}$

Étape 1

Comme $83$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $\frac{83 s}{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}}$ par rapport à $s$ est $83 \frac{d}{d s} [\frac{s}{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}}]$ .

$83 \frac{d}{d s} [\frac{s}{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ est $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ où $f (s) = s$ et $g (s) = 19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}$ .

$83 \frac{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$83 \frac{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}$ par $1$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - s \frac{d}{d s} [19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2}$ par rapport à $s$ est $\frac{d}{d s} [19] + \frac{d}{d s} [19 {(\frac{s}{23})}^{2}]$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - s (\frac{d}{d s} [19] + \frac{d}{d s} [19 {(\frac{s}{23})}^{2}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $19$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $19$ par rapport à $s$ est $0$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - s (0 + \frac{d}{d s} [19 {(\frac{s}{23})}^{2}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d s} [19 {(\frac{s}{23})}^{2}]$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - s \frac{d}{d s} [19 {(\frac{s}{23})}^{2}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $19$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $19 {(\frac{s}{23})}^{2}$ par rapport à $s$ est $19 \frac{d}{d s} [{(\frac{s}{23})}^{2}]$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - s (19 \frac{d}{d s} [{(\frac{s}{23})}^{2}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - 19 s \frac{d}{d s} [{(\frac{s}{23})}^{2}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ est $f' (g (s)) g' (s)$ où $f (s) = s^{2}$ et $g (s) = \frac{s}{23}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{s}{23}$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - 19 s (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - 19 s (2 u \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{s}{23}$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - 19 s (2 \frac{s}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $2$ et $\frac{s}{23}$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - 19 s (\frac{2 s}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Associez $- 19$ et $\frac{2 s}{23}$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} + s (\frac{- 19 (2 s)}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 19$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} + s (\frac{- 38 s}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Associez $\frac{- 38 s}{23}$ et $s$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} + \frac{- 38 s \cdot s}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 6

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} + \frac{- 38 (s^{1} s)}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 7

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} + \frac{- 38 (s^{1} s^{1})}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} + \frac{- 38 s^{1 + 1}}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} + \frac{- 38 s^{2}}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - \frac{38 s^{2}}{23} \frac{d}{d s} [\frac{s}{23}]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{23}$ est constant par rapport à $s$ , la dérivée de $\frac{s}{23}$ par rapport à $s$ est $\frac{1}{23} \frac{d}{d s} [s]$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - \frac{38 s^{2}}{23} (\frac{1}{23} \frac{d}{d s} [s])}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{1}{23}$ par $\frac{38 s^{2}}{23}$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - \frac{38 s^{2}}{23 \cdot 23} \frac{d}{d s} [s]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 11.2

Multipliez $23$ par $23$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - \frac{38 s^{2}}{529} \frac{d}{d s} [s]}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ est $n s^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - \frac{38 s^{2}}{529} \cdot 1}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$83 \frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - \frac{38 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 13.2

Associez $83$ et $\frac{19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - \frac{38 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{83 (19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2} - \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{s}{23}$ .

$\frac{83 (19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}} - \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 {(\frac{s}{23})}^{2})}^{2}}$

Étape 14.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{s}{23}$ .

$\frac{83 (19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}} - \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{83 \cdot 19 + 83 (19 \frac{s^{2}}{23^{2}}) + 83 (- \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.4.1.1

Multipliez $83$ par $19$ .

$\frac{1577 + 83 (19 \frac{s^{2}}{23^{2}}) + 83 (- \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.1.2

Élevez $23$ à la puissance $2$ .

$\frac{1577 + 83 (19 \frac{s^{2}}{529}) + 83 (- \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.1.3

Associez $19$ et $\frac{s^{2}}{529}$ .

$\frac{1577 + 83 \frac{19 s^{2}}{529} + 83 (- \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.1.4

Multipliez $83 \frac{19 s^{2}}{529}$ .

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Étape 14.4.1.4.1

Associez $83$ et $\frac{19 s^{2}}{529}$ .

$\frac{1577 + \frac{83 (19 s^{2})}{529} + 83 (- \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.1.4.2

Multipliez $19$ par $83$ .

$\frac{1577 + \frac{1577 s^{2}}{529} + 83 (- \frac{38 s^{2}}{529})}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.1.5

Multipliez $83 (- \frac{38 s^{2}}{529})$ .

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Étape 14.4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $83$ .

$\frac{1577 + \frac{1577 s^{2}}{529} - 83 \frac{38 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.1.5.2

Associez $- 83$ et $\frac{38 s^{2}}{529}$ .

$\frac{1577 + \frac{1577 s^{2}}{529} + \frac{- 83 (38 s^{2})}{529}}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.1.5.3

Multipliez $38$ par $- 83$ .

$\frac{1577 + \frac{1577 s^{2}}{529} + \frac{- 3154 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1577 + \frac{1577 s^{2}}{529} - \frac{3154 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1577 + \frac{1577 s^{2} - 3154 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.3

Soustrayez $3154 s^{2}$ de $1577 s^{2}$ .

$\frac{1577 + \frac{- 1577 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1577 - \frac{1577 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{23^{2}})}^{2}}$

Étape 14.5

Associez des termes.

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Étape 14.5.1

Élevez $23$ à la puissance $2$ .

$\frac{1577 - \frac{1577 s^{2}}{529}}{{(19 + 19 \frac{s^{2}}{529})}^{2}}$

Étape 14.5.2

Associez $19$ et $\frac{s^{2}}{529}$ .

$\frac{1577 - \frac{1577 s^{2}}{529}}{{(19 + \frac{19 s^{2}}{529})}^{2}}$

Étape 14.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- \frac{1577 s^{2}}{529} + 1577}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.7.1

Factorisez $1577$ à partir de $- \frac{1577 s^{2}}{529} + 1577$ .

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Étape 14.7.1.1

Factorisez $1577$ à partir de $- \frac{1577 s^{2}}{529}$ .

$\frac{1577 (- \frac{s^{2}}{529}) + 1577}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.1.2

Factorisez $1577$ à partir de $1577$ .

$\frac{1577 (- \frac{s^{2}}{529}) + 1577 (1)}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.1.3

Factorisez $1577$ à partir de $1577 (- \frac{s^{2}}{529}) + 1577 (1)$ .

$\frac{1577 (- \frac{s^{2}}{529} + 1)}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1577 (- \frac{s^{2}}{529} + 1^{2})}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.3

Réécrivez $\frac{s^{2}}{529}$ comme ${(\frac{s}{23})}^{2}$ .

$\frac{1577 (- {(\frac{s}{23})}^{2} + 1^{2})}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.4

Remettez dans l’ordre $- {(\frac{s}{23})}^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{1577 (1^{2} - {(\frac{s}{23})}^{2})}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{s}{23}$ .

$\frac{1577 (1 + \frac{s}{23}) (1 - \frac{s}{23})}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1577 (\frac{23}{23} + \frac{s}{23}) (1 - \frac{s}{23})}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1577 \frac{23 + s}{23} (1 - \frac{s}{23})}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1577 \frac{23 + s}{23} (\frac{23}{23} - \frac{s}{23})}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1577 \frac{23 + s}{23} \frac{23 - s}{23}}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.10

Associez les exposants.

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Étape 14.7.10.1

Associez $1577$ et $\frac{23 + s}{23}$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s)}{23} \cdot \frac{23 - s}{23}}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.10.2

Multipliez $\frac{1577 (23 + s)}{23}$ par $\frac{23 - s}{23}$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{23 \cdot 23}}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.7.10.3

Multipliez $23$ par $23$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{{(\frac{19 s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.8.1

Factorisez $19$ à partir de $\frac{19 s^{2}}{529} + 19$ .

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Étape 14.8.1.1

Factorisez $19$ à partir de $\frac{19 s^{2}}{529}$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{{(19 \frac{s^{2}}{529} + 19)}^{2}}$

Étape 14.8.1.2

Factorisez $19$ à partir de $19$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{{(19 \frac{s^{2}}{529} + 19 (1))}^{2}}$

Étape 14.8.1.3

Factorisez $19$ à partir de $19 \frac{s^{2}}{529} + 19 (1)$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{{(19 (\frac{s^{2}}{529} + 1))}^{2}}$

Étape 14.8.2

Appliquez la règle de produit à $19 (\frac{s^{2}}{529} + 1)$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{19^{2} {(\frac{s^{2}}{529} + 1)}^{2}}$

Étape 14.8.3

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{361 {(\frac{s^{2}}{529} + 1)}^{2}}$

Étape 14.8.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{361 {(\frac{s^{2}}{529} + \frac{529}{529})}^{2}}$

Étape 14.8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{361 {(\frac{s^{2} + 529}{529})}^{2}}$

Étape 14.8.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{s^{2} + 529}{529}$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{361 \frac{{(s^{2} + 529)}^{2}}{529^{2}}}$

Étape 14.8.7

Élevez $529$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{361 \frac{{(s^{2} + 529)}^{2}}{279841}}$

Étape 14.9

Associez $361$ et $\frac{{(s^{2} + 529)}^{2}}{279841}$ .

$\frac{\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529}}{\frac{361 {(s^{2} + 529)}^{2}}{279841}}$

Étape 14.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1577 (23 + s) (23 - s)}{529} \cdot \frac{279841}{361 {(s^{2} + 529)}^{2}}$

Étape 14.11

Associez.

$\frac{1577 (23 + s) (23 - s) \cdot 279841}{529 (361 {(s^{2} + 529)}^{2})}$

Étape 14.12

Annulez le facteur commun à $1577$ et $361$ .

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Étape 14.12.1

Factorisez $19$ à partir de $1577 (23 + s) (23 - s) \cdot 279841$ .

$\frac{19 (83 (23 + s) (23 - s) \cdot 279841)}{529 (361 {(s^{2} + 529)}^{2})}$

Étape 14.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.12.2.1

Factorisez $19$ à partir de $529 (361 {(s^{2} + 529)}^{2})$ .

$\frac{19 (83 (23 + s) (23 - s) \cdot 279841)}{19 (529 (19 {(s^{2} + 529)}^{2}))}$

Étape 14.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{19 (83 (23 + s) (23 - s) \cdot 279841)}{19 (529 (19 {(s^{2} + 529)}^{2}))}$

Étape 14.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{83 (23 + s) (23 - s) \cdot 279841}{529 (19 {(s^{2} + 529)}^{2})}$

Étape 14.13

Annulez le facteur commun à $279841$ et $529$ .

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Étape 14.13.1

Factorisez $529$ à partir de $83 (23 + s) (23 - s) \cdot 279841$ .

$\frac{529 (83 (23 + s) (23 - s) \cdot 529)}{529 (19 {(s^{2} + 529)}^{2})}$

Étape 14.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{529 (83 (23 + s) (23 - s) \cdot 529)}{529 (19 {(s^{2} + 529)}^{2})}$

Étape 14.13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{83 (23 + s) (23 - s) \cdot 529}{19 {(s^{2} + 529)}^{2}}$

Étape 14.14

Multipliez $529$ par $83$ .

$\frac{43907 (23 + s) (23 - s)}{19 {(s^{2} + 529)}^{2}}$