Calcul infinitésimal Exemples

$m (x) = 12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} - 93$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}} - 93$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$ .

$\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 5$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 5$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [5])) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{3 - 2}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 (\frac{3}{2} {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.11

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.12

Associez $2$ et $\frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 (\frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.13

Multipliez $3$ par $2$ .

$12 (\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.14

Associez $\frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$12 \frac{6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.15

Factorisez $2$ à partir de $6 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.16

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.16.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.16.2

Annulez le facteur commun.

$12 \frac{2 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.16.3

Réécrivez l’expression.

$12 \frac{3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x}{1} + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.16.4

Divisez $3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ par $1$ .

$12 (3 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x) + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 2.17

Multipliez $3$ par $12$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{d}{d x} [- 93]$

Étape 3

Comme $- 93$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 93$ par rapport à $x$ est $0$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x + 0$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Additionnez $36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ et $0$ .

$36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $36 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$36 x {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$