Calcul infinitésimal Exemples

$m (x) = {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = \cos (1 - x^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (1 - x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (1 - x^{2})$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 6

Associez $\frac{3}{2}$ et ${\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (1 - x^{2})]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Étape 7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 7.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Étape 8

Différenciez.

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Étape 8.1

Associez $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $\sin (1 - x^{2})$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 8.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 8.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 8.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 8.6

Multipliez.

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Étape 8.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.6.2

Multipliez $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ par $1$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2} (2 x)$

Étape 8.8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.8.1

Associez $2$ et $\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})}{2}$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

Étape 8.8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2} x$

Étape 8.8.3

Associez $\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}))}{2}$ et $x$ .

$\frac{6 ({\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})) x}{2}$

Étape 8.8.4

Factorisez $2$ à partir de $6 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2}$

Étape 9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 (1)}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x)}{2 \cdot 1}$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x}{1}$

Étape 9.4

Divisez $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ par $1$ .

$3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$

Étape 10

Réorganisez les facteurs de $3 {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2}) x$ .

$3 x {\cos (1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sin (1 - x^{2})$