Calcul infinitésimal Exemples

$m (t) = - 5 t {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Étape 1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5 t {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ par rapport à $t$ est $- 5 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{5} - 1)}^{3}]$ .

$- 5 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{5} - 1)}^{3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

$- 5 (t \frac{d}{d t} [{(6 t^{5} - 1)}^{3}] + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{3}$ et $g (t) = 6 t^{5} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 t^{5} - 1$ .

$- 5 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 t^{5} - 1$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [6 t^{5} - 1]) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 t^{5} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [6 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [6 t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.2

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $6 t^{5}$ par rapport à $t$ est $6 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (6 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (6 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.4

Multipliez $5$ par $6$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4} + 0)) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Additionnez $30 t^{4}$ et $0$ .

$- 5 (t (3 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (30 t^{4})) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 4.6.2

Multipliez $30$ par $3$ .

$- 5 (t (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2} t^{4}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- 5 (t^{4} t^{1} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 (t^{4 + 1} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 7

Additionnez $4$ et $1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3} \cdot 1)$

Étape 9

Multipliez ${(6 t^{5} - 1)}^{3}$ par $1$ .

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2}) + {(6 t^{5} - 1)}^{3})$

Étape 10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 (t^{5} (90 {(6 t^{5} - 1)}^{2})) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Étape 10.2

Multipliez $90$ par $- 5$ .

$- 450 (t^{5} ({(6 t^{5} - 1)}^{2})) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Étape 10.3

Factorisez $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ à partir de $- 450 t^{5} {(6 t^{5} - 1)}^{2} - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Factorisez $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ à partir de $- 450 t^{5} {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) - 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$

Étape 10.3.2

Factorisez $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ à partir de $- 5 {(6 t^{5} - 1)}^{3}$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) + 5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.3.3

Factorisez $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2}$ à partir de $5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5}) + 5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- (6 t^{5} - 1))$ .

$5 {(6 t^{5} - 1)}^{2} (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.4

Réécrivez ${(6 t^{5} - 1)}^{2}$ comme $(6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)$ .

$5 ((6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.5

Développez $(6 t^{5} - 1) (6 t^{5} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5} - 1) - 1 (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5} - 1)) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 (6 t^{5} (6 t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 (6 \cdot 6 t^{5} t^{5} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6.1.2

Multipliez $t^{5}$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1.2.1

Déplacez $t^{5}$ .

$5 (6 \cdot 6 (t^{5} t^{5}) + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 (6 \cdot 6 t^{5 + 5} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6.1.2.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$5 (6 \cdot 6 t^{10} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$5 (36 t^{10} + 6 t^{5} \cdot - 1 - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 1 (6 t^{5}) - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6.1.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} - 1 \cdot - 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 (36 t^{10} - 6 t^{5} - 6 t^{5} + 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.6.2

Soustrayez $6 t^{5}$ de $- 6 t^{5}$ .

$5 (36 t^{10} - 12 t^{5} + 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.7

Appliquez la propriété distributive.

$(5 (36 t^{10}) + 5 (- 12 t^{5}) + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.8.1

Multipliez $36$ par $5$ .

$(180 t^{10} + 5 (- 12 t^{5}) + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.8.2

Multipliez $- 12$ par $5$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5 \cdot 1) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.8.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - (6 t^{5} - 1))$

Étape 10.9

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - (6 t^{5}) - - 1)$

Étape 10.9.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - 6 t^{5} - - 1)$

Étape 10.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 90 t^{5} - 6 t^{5} + 1)$

Étape 10.10

Soustrayez $6 t^{5}$ de $- 90 t^{5}$ .

$(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 96 t^{5} + 1)$

Étape 10.11

Développez $(180 t^{10} - 60 t^{5} + 5) (- 96 t^{5} + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$180 t^{10} (- 96 t^{5}) + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$180 \cdot - 96 t^{10} t^{5} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.2

Multipliez $t^{10}$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.12.2.1

Déplacez $t^{5}$ .

$180 \cdot - 96 (t^{5} t^{10}) + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$180 \cdot - 96 t^{5 + 10} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.2.3

Additionnez $5$ et $10$ .

$180 \cdot - 96 t^{15} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.3

Multipliez $180$ par $- 96$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} \cdot 1 - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.4

Multipliez $180$ par $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 t^{5} (- 96 t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{5} t^{5} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.6

Multipliez $t^{5}$ par $t^{5}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.12.6.1

Déplacez $t^{5}$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 (t^{5} t^{5}) - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{5 + 5} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.6.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} - 60 \cdot - 96 t^{10} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.7

Multipliez $- 60$ par $- 96$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} \cdot 1 + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.8

Multipliez $- 60$ par $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} + 5 (- 96 t^{5}) + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.9

Multipliez $- 96$ par $5$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5 \cdot 1$

Étape 10.12.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$- 17280 t^{15} + 180 t^{10} + 5760 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5$

Étape 10.13

Additionnez $180 t^{10}$ et $5760 t^{10}$ .

$- 17280 t^{15} + 5940 t^{10} - 60 t^{5} - 480 t^{5} + 5$

Étape 10.14

Soustrayez $480 t^{5}$ de $- 60 t^{5}$ .

$- 17280 t^{15} + 5940 t^{10} - 540 t^{5} + 5$