Calcul infinitésimal Exemples

$k (x) = \frac{9 x + 3}{7 x^{2} + x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 9 x + 3$ et $g (x) = 7 x^{2} + x$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [9 x + 3] - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (9 + \frac{d}{d x} [3]) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) (9 + 0) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + x) \cdot 9 - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $9$ à gauche de $7 x^{2} + x$ .

$\frac{9 \cdot (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + x]}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (14 x + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{9 (7 x^{2} + x) - (9 x + 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (7 x^{2}) + 9 x - (9 x + 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 (7 x^{2}) + 9 x + (- (9 x) - 1 \cdot 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $7$ par $9$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x + (- (9 x) - 1 \cdot 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x + (- 9 x - 1 \cdot 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x + (- 9 x - 3) (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3

Développez $(- 9 x - 3) (14 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 x (14 x + 1) - 3 (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 x (14 x) - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x + 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 x (14 x) - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 \cdot 14 x \cdot x - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 \cdot 14 (x \cdot x) - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 9 \cdot 14 x^{2} - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.3

Multipliez $- 9$ par $14$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 9 x \cdot 1 - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 9 x - 3 (14 x) - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.5

Multipliez $14$ par $- 3$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 9 x - 42 x - 3 \cdot 1}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.1.6

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 9 x - 42 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.1.4.2

Soustrayez $42 x$ de $- 9 x$ .

$\frac{63 x^{2} + 9 x - 126 x^{2} - 51 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $126 x^{2}$ de $63 x^{2}$ .

$\frac{- 63 x^{2} + 9 x - 51 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $51 x$ de $9 x$ .

$\frac{- 63 x^{2} - 42 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $3$ à partir de $- 63 x^{2} - 42 x - 3$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 63 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2}) - 42 x - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 42 x$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2}) + 3 (- 14 x) - 3}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2}) + 3 (- 14 x) + 3 (- 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 21 x^{2}) + 3 (- 14 x)$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x) + 3 (- 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.4.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 21 x^{2} - 14 x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(7 x^{2} + x)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x^{2} + x$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $7 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(x (7 x) + x)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(x (7 x) + x^{1})}^{2}}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(x (7 x) + x \cdot 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (7 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{{(x (7 x + 1))}^{2}}$

Étape 3.5.2

Appliquez la règle de produit à $x (7 x + 1)$ .

$\frac{3 (- 21 x^{2} - 14 x - 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 21 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2}) - 14 x - 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 14 x$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2}) - (14 x) - 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (21 x^{2}) - (14 x)$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2} + 14 x) - 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2} + 14 x) - 1 (1))}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (21 x^{2} + 14 x) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (21 x^{2} + 14 x + 1))}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.11

Réécrivez $- (21 x^{2} + 14 x + 1)$ comme $- 1 (21 x^{2} + 14 x + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (21 x^{2} + 14 x + 1))}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (21 x^{2} + 14 x + 1)}{x^{2} {(7 x + 1)}^{2}}$