Calcul infinitésimal Exemples

$j (x) = \ln (e^{a x} + b)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = \ln (a)$ et $g (a) = e^{a x} + b$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{a x} + b$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d a} [e^{a x} + b]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d a} [e^{a x} + b]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{a x} + b$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} \frac{d}{d a} [e^{a x} + b]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{a x} + b$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [e^{a x}] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (\frac{d}{d a} [e^{a x}] + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = e^{a}$ et $g (a) = a x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $a x$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (e^{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $a x$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (e^{a x} \frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $x$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $a$ est $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (e^{a x} (x \frac{d}{d a} [a]) + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (e^{a x} (x \cdot 1) + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (e^{a x} x + \frac{d}{d a} [b])$

Étape 4.4

Comme $b$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $b$ par rapport à $a$ est $0$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (e^{a x} x + 0)$

Étape 4.5

Associez les fractions.

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Étape 4.5.1

Additionnez $e^{a x} x$ et $0$ .

$\frac{1}{e^{a x} + b} (e^{a x} x)$

Étape 4.5.2

Associez $e^{a x}$ et $\frac{1}{e^{a x} + b}$ .

$\frac{e^{a x}}{e^{a x} + b} x$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{e^{a x}}{e^{a x} + b}$ et $x$ .

$\frac{e^{a x} x}{e^{a x} + b}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{a x} x$ .

$\frac{x e^{a x}}{e^{a x} + b}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{a x} x}{b + e^{a x}}$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{a x} x}{b + e^{a x}}$ .

$\frac{x e^{a x}}{b + e^{a x}}$