Calcul infinitésimal Exemples

$J (v) = (v^{3} - 2 v) (v^{- 4} + v^{- 2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ est $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ où $f (v) = v^{3} - 2 v$ et $g (v) = v^{- 4} + v^{- 2}$ .

$(v^{3} - 2 v) \frac{d}{d v} [v^{- 4} + v^{- 2}] + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $v^{- 4} + v^{- 2}$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [v^{- 4}] + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]$ .

$(v^{3} - 2 v) (\frac{d}{d v} [v^{- 4}] + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} + \frac{d}{d v} [v^{- 2}]) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) \frac{d}{d v} [v^{3} - 2 v]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $v^{3} - 2 v$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [- 2 v])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [- 2 v])$

Étape 2.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 2 v$ par rapport à $v$ est $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2 \frac{d}{d v} [v])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2 \cdot 1)$

Étape 2.8

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 v^{- 5} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 v^{- 3}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (v^{- 4} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + v^{- 2}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- 4 \frac{1}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3.5

Associez des termes.

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Étape 3.5.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{v^{5}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (\frac{- 4}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} - 2 \frac{1}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3.5.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{v^{3}}$ .

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} + \frac{- 2}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$(v^{3} - 2 v) (- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) + (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) (3 v^{2} - 2)$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$(- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1

Développez $(- \frac{4}{v^{5}} - \frac{2}{v^{3}}) (v^{3} - 2 v)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4}{v^{5}} (v^{3} - 2 v) - \frac{2}{v^{3}} (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} (v^{3} - 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{3}$ .

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Étape 3.7.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{v^{5}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{v^{5}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.1.2

Factorisez $v^{3}$ à partir de $v^{5}$ .

$\frac{- 4}{v^{3} v^{2}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4}{v^{3} v^{2}} v^{3} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{v^{2}} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{v^{2}} - \frac{4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.3

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 3.7.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{v^{5}}$ dans le numérateur.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v^{5}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.3.2

Factorisez $v$ à partir de $v^{5}$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (- 2 v) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.3.3

Factorisez $v$ à partir de $- 2 v$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (v \cdot - 2) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.3.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v \cdot v^{4}} (v \cdot - 2) - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.3.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4}{v^{4}} \cdot - 2 - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.4

Associez $\frac{- 4}{v^{4}}$ et $- 2$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{- 4 \cdot - 2}{v^{4}} - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - \frac{2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.6

Annulez le facteur commun de $v^{3}$ .

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Étape 3.7.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{v^{3}}$ dans le numérateur.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{3}} v^{3} - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 - \frac{2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.7

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 3.7.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{v^{3}}$ dans le numérateur.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v^{3}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.7.2

Factorisez $v$ à partir de $v^{3}$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (- 2 v) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.7.3

Factorisez $v$ à partir de $- 2 v$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (v \cdot - 2) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.7.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v \cdot v^{2}} (v \cdot - 2) + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.7.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2}{v^{2}} \cdot - 2 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.8

Associez $\frac{- 2}{v^{2}}$ et $- 2$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{- 2 \cdot - 2}{v^{2}} + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.1.9

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- \frac{4}{v^{2}} + \frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{4}{v^{2}} + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.2

Additionnez $- \frac{4}{v^{2}}$ et $\frac{4}{v^{2}}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 0 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.2.3

Additionnez $\frac{8}{v^{4}}$ et $0$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + (3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.3

Développez $(3 v^{2} - 2) (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}) - 2 (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 (\frac{1}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}})$

Étape 3.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 v^{2} \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.4.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 3.7.4.1.1.1

Factorisez $v^{2}$ à partir de $3 v^{2}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{4}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.1.2

Factorisez $v^{2}$ à partir de $v^{4}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2} v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2} v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + 3 \frac{1}{v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.2

Associez $3$ et $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 v^{2} \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.3

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 3.7.4.1.3.1

Factorisez $v^{2}$ à partir de $3 v^{2}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + v^{2} \cdot 3 \frac{1}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - 2 \frac{1}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{v^{4}}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 + \frac{- 2}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} - 2 \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} + \frac{- 2}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}} - \frac{2}{v^{2}}$

Étape 3.7.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{3 - 2}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}}$

Étape 3.7.4.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{8}{v^{4}} - 2 + \frac{1}{v^{2}} + 3 - \frac{2}{v^{4}}$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 + 3 + \frac{8 - 2}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.9

Soustrayez $2$ de $8$ .

$- 2 + 3 + \frac{6}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$

Étape 3.10

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1 + \frac{6}{v^{4}} + \frac{1}{v^{2}}$