Calcul infinitésimal Exemples

$h (z) = \frac{1 - 2 z}{z^{2} - z - 6}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ est $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ où $f (z) = 1 - 2 z$ et $g (z) = z^{2} - z - 6$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [1 - 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 z$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (0 + \frac{d}{d z} [- 2 z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d z} [- 2 z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \frac{d}{d z} [- 2 z] - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 2 z$ par rapport à $z$ est $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \frac{d}{d z} [z]) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{(z^{2} - z - 6) \cdot - 2 - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $z^{2} - z - 6$ .

$\frac{- 2 \cdot (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) \frac{d}{d z} [z^{2} - z - 6]}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z^{2} - z - 6$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6]$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z + \frac{d}{d z} [- z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- z$ par rapport à $z$ est $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + \frac{d}{d z} [- 6])}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.12

Comme $- 6$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1 + 0)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.13

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.13.1

Additionnez $2 z - 1$ et $0$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (1 - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.13.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - 2 z) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.13.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 z$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1) - (2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.13.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (2 z)$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - (- 1 (- 1 + 2 z)) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 2.13.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 3

Élevez $2 z - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} (2 z - 1))}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 4

Élevez $2 z - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 ({(2 z - 1)}^{1} {(2 z - 1)}^{1})}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{1 + 1}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) - - 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + 1 {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 8

Multipliez ${(2 z - 1)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 (z^{2} - z - 6) + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 z^{2} - 2 (- z) - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z - 2 \cdot - 6 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + {(2 z - 1)}^{2}}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.3

Réécrivez ${(2 z - 1)}^{2}$ comme $(2 z - 1) (2 z - 1)$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + (2 z - 1) (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.4

Développez $(2 z - 1) (2 z - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z - 1) - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z - 1)}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 z (2 z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 9.2.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5.1.2

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1.5.1.2.1

Déplacez $z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5.1.2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 2 \cdot 2 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} + 2 z \cdot - 1 - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 1 (2 z) - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z - 1 \cdot - 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 2 z - 2 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.1.5.2

Soustrayez $2 z$ de $- 2 z$ .

$\frac{- 2 z^{2} + 2 z + 12 + 4 z^{2} - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $- 2 z^{2}$ et $4 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} + 2 z + 12 - 4 z + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.3

Soustrayez $4 z$ de $2 z$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 12 + 1}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.2.4

Additionnez $12$ et $1$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z^{2} - z - 6)}^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.1

Factorisez $z^{2} - z - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 9.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{((z - 3) (z + 2))}^{2}}$

Étape 9.3.2

Appliquez la règle de produit à $(z - 3) (z + 2)$ .

$\frac{2 z^{2} - 2 z + 13}{{(z - 3)}^{2} {(z + 2)}^{2}}$