Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = x \tan (2 \sqrt{x}) + 7$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \tan (2 \sqrt{x}) + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \tan (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (2 \sqrt{x})] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \tan (2 \sqrt{x})]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \tan (2 x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \tan (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (2 x^{\frac{1}{2}})] + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.13

Associez $2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.14

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.15

Annulez le facteur commun.

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.16

Réécrivez l’expression.

$x (\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.17

Associez $\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.18

Associez $x$ et $\frac{\sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.19

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.20

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.20.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.20.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 2.20.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.20.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{- \frac{1}{2} + 1} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.20.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.20.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.20.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.21

Multipliez $\tan (2 x^{\frac{1}{2}})$ par $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}}) + 0$

Étape 3.2

Additionnez $x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}})$ et $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \tan (2 x^{\frac{1}{2}})$