Calcul infinitésimal Exemples

$p (x) = 2000 x - 300 x \ln (1000 x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2000 x - 300 x \ln (1000 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2000 x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2000 x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2000 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $2000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2000 x$ par rapport à $x$ est $2000 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2000 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Étape 2.3

Multipliez $2000$ par $1$ .

$2000 + \frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 300 x \ln (1000 x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- 300$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 300 x \ln (1000 x)$ par rapport à $x$ est $- 300 \frac{d}{d x} [x \ln (1000 x)]$ .

$2000 - 300 \frac{d}{d x} [x \ln (1000 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (1000 x)$ .

$2000 - 300 (x \frac{d}{d x} [\ln (1000 x)] + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1000 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1000 x$ .

$2000 - 300 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1000 x$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} \frac{d}{d x} [1000 x]) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Comme $1000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1000 x$ par rapport à $x$ est $1000 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \cdot 1)) + \ln (1000 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} (1000 \cdot 1)) + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $1000$ par $1$ .

$2000 - 300 (x (\frac{1}{1000 x} \cdot 1000) + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Étape 3.8

Associez $\frac{1}{1000 x}$ et $1000$ .

$2000 - 300 (x \frac{1000}{1000 x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun de $1000$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Annulez le facteur commun.

$2000 - 300 (x \frac{1000}{1000 x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Étape 3.9.2

Réécrivez l’expression.

$2000 - 300 (x \frac{1}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Étape 3.10

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$2000 - 300 (\frac{x}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Étape 3.11

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Annulez le facteur commun.

$2000 - 300 (\frac{x}{x} + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Étape 3.11.2

Réécrivez l’expression.

$2000 - 300 (1 + \ln (1000 x) \cdot 1)$

Étape 3.12

Multipliez $\ln (1000 x)$ par $1$ .

$2000 - 300 (1 + \ln (1000 x))$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2000 - 300 \cdot 1 - 300 \ln (1000 x)$

Étape 4.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $- 300$ par $1$ .

$2000 - 300 - 300 \ln (1000 x)$

Étape 4.2.2

Soustrayez $300$ de $2000$ .

$1700 - 300 \ln (1000 x)$