Calcul infinitésimal Exemples

$q (x) = \sin (x) \sec (2 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sin (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\sin (x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \cdot (\sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \sec (2 x) \cos (x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \sec (2 x) \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} \sin (x) \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{2}{\cos (2 x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \tan (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.4

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.5

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{\cos (2 x)}$ par $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.5.2

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.5.3

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{{\cos (2 x)}^{1 + 1}} + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \sec (2 x)$

Étape 5.2.6

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 5.2.7

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \sin (2 x)}{\cos (2 x) \cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.2

Séparez les fractions.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (2 x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.3

Réécrivez $\frac{\sin (x)}{\cos (2 x)}$ comme un produit.

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.4

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.5

Simplifiez

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Étape 5.3.5.1

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \frac{1}{\cos (2 x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.5.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.6

Séparez les fractions.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.7

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.8

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \tan (2 x) (\sin (x) \sec (2 x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.9

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\cos (2 x)}$ comme un produit.

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.10

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.11

Simplifiez

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Étape 5.3.11.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 5.3.11.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$2 \tan (2 x) \sin (x) \sec (2 x) + \cos (x) \sec (2 x)$