Calcul infinitésimal Exemples

$q (t) = 20 (e^{- t} - e^{- 2 t})$

Étape 1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $20 (e^{- t} - e^{- 2 t})$ par rapport à $t$ est $20 \frac{d}{d t} [e^{- t} - e^{- 2 t}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [e^{- t} - e^{- 2 t}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- t} - e^{- 2 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}]$ .

$20 (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- t$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$20 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- t$ .

$20 (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 3.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$20 (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- t}$ .

$20 (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- t}$ comme $- e^{- t}$ .

$20 (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [- e^{- 2 t}])$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- e^{- 2 t}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}]$ .

$20 (- e^{- t} - \frac{d}{d t} [e^{- 2 t}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - 2 t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 2 t$ .

$20 (- e^{- t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 2 t]))$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$20 (- e^{- t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 2 t]))$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 t$ .

$20 (- e^{- t} - (e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [- 2 t]))$

Étape 5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2 t$ par rapport à $t$ est $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (- e^{- t} - e^{- 2 t} (- 2 \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 5.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$20 (- e^{- t} + 2 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 (- e^{- t} + 2 e^{- 2 t} \cdot 1)$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$20 (- e^{- t} + 2 e^{- 2 t})$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 (- e^{- t}) + 20 (2 e^{- 2 t})$

Étape 6.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 e^{- t} + 20 (2 e^{- 2 t})$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $20$ .

$- 20 e^{- t} + 40 e^{- 2 t}$

Étape 6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$40 e^{- 2 t} - 20 e^{- t}$