Calcul infinitésimal Exemples

$q (t) = \frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{5 t}{t^{2} - 5 t - 3}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} - 5 t - 3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = t^{2} - 5 t - 3$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{(t^{2} - 5 t - 3) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $t^{2} - 5 t - 3$ par $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t \frac{d}{d t} [t^{2} - 5 t - 3]}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} - 5 t - 3$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t + \frac{d}{d t} [- 5 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $- 5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 5 t$ par rapport à $t$ est $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5 + 0)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Additionnez $2 t - 5$ et $0$ .

$5 \frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 3.9.2

Associez $5$ et $\frac{t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t - 5))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (t^{2} - 5 t - 3 - t (2 t) - t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 t^{2} + 5 (- 5 t) + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t + 5 \cdot - 3 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t (2 t)) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.3.1

Déplacez $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- (t \cdot t) \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.3.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- t^{2} \cdot 2) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 + 5 (- 2 t^{2}) + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (- t \cdot - 5)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 5 (5 t)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.7

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Associez les termes opposés dans $5 t^{2} - 25 t - 15 - 10 t^{2} + 25 t$ .

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Étape 4.3.2.1

Additionnez $- 25 t$ et $25 t$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2} + 0}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}$ et $0$ .

$\frac{5 t^{2} - 15 - 10 t^{2}}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $10 t^{2}$ de $5 t^{2}$ .

$\frac{- 5 t^{2} - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.4

Factorisez $5$ à partir de $- 5 t^{2} - 15$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 t^{2}$ .

$\frac{5 (- t^{2}) - 15}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 15$ .

$\frac{5 (- t^{2}) + 5 (- 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- t^{2}) + 5 (- 3)$ .

$\frac{5 (- t^{2} - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- t^{2}$ .

$\frac{5 (- (t^{2}) - 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{5 (- (t^{2}) - 1 (3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (t^{2}) - 1 (3)$ .

$\frac{5 (- (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.8

Réécrivez $- (t^{2} + 3)$ comme $- 1 (t^{2} + 3)$ .

$\frac{5 (- 1 (t^{2} + 3))}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$

Étape 4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 (t^{2} + 3)}{{(t^{2} - 5 t - 3)}^{2}}$