Calcul infinitésimal Exemples

$Q (r) = (r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ est $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ où $f (r) = (r^{2} + 1) (r^{3} - r)$ et $g (r) = 3 r^{4} + 2 r - 1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [3 r^{4} + 2 r - 1] + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 r^{4} + 2 r - 1$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [3 r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (\frac{d}{d r} [3 r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $3 r^{4}$ par rapport à $r$ est $3 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (3 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + \frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $2 r$ par rapport à $r$ est $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 + \frac{d}{d r} [- 1]) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $r$ est $0$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2 + 0) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 2.9

Additionnez $12 r^{3} + 2$ et $0$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) \frac{d}{d r} [(r^{2} + 1) (r^{3} - r)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ est $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ où $f (r) = r^{2} + 1$ et $g (r) = r^{3} - r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) \frac{d}{d r} [r^{3} - r] + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r^{3} - r$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [- r]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (\frac{d}{d r} [r^{3}] + \frac{d}{d r} [- r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} + \frac{d}{d r} [- r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Étape 4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- r$ par rapport à $r$ est $- \frac{d}{d r} [r]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - \frac{d}{d r} [r]) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1 \cdot 1) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])$

Étape 4.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $r^{2} + 1$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]))$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r + \frac{d}{d r} [1]))$

Étape 4.8

Comme $1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $1$ par rapport à $r$ est $0$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r + 0))$

Étape 4.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.9.1

Additionnez $2 r$ et $0$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (r^{3} - r) (2 r))$

Étape 4.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $r^{3} - r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 \cdot (r^{3} - r) r)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + (2 r^{3} + 2 (- r)) r)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{3} r + 2 (- r) r)$

Étape 5.3

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 (r^{1} r^{3}) + 2 (- r) r)$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{1 + 3} + 2 (- r) r)$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} + 2 (- r) r)$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r \cdot r)$

Étape 5.7

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 (r^{1} r))$

Étape 5.8

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 (r^{1} r^{1}))$

Étape 5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{1 + 1})$

Étape 5.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

Étape 5.11

Factorisez $1$ à partir de $(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ .

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Étape 5.11.1

Factorisez $1$ à partir de $(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2)$ .

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

Étape 5.11.2

Factorisez $1$ à partir de $(3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ .

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + 1 ((3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$

Étape 5.11.3

Factorisez $1$ à partir de $1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2)) + 1 ((3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$ .

$1 (((r^{2} + 1) (r^{3} - r)) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}))$

Étape 5.12

Multipliez $(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$ par $1$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - r) (12 r^{3} + 2) + (3 r^{4} + 2 r - 1) ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2})$

Étape 5.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$(12 r^{3} + 2) (r^{2} + 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.14.1

Développez $(12 r^{3} + 2) (r^{2} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.14.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(12 r^{3} (r^{2} + 1) + 2 (r^{2} + 1)) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(12 r^{3} r^{2} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 (r^{2} + 1)) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(12 r^{3} r^{2} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.14.2.1

Multipliez $r^{3}$ par $r^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.2.1.1

Déplacez $r^{2}$ .

$(12 (r^{2} r^{3}) + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(12 r^{2 + 3} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.2.1.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$(12 r^{5} + 12 r^{3} \cdot 1 + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.2.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2 \cdot 1) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2) (r^{3} - r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.3

Développez $(12 r^{5} + 12 r^{3} + 2 r^{2} + 2) (r^{3} - r)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$12 r^{5} r^{3} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.14.4.1

Multipliez $r^{5}$ par $r^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.4.1.1

Déplacez $r^{3}$ .

$12 (r^{3} r^{5}) + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{3 + 5} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.1.3

Additionnez $3$ et $5$ .

$12 r^{8} + 12 r^{5} (- r) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{5} r + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.3

Multipliez $r^{5}$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.4.3.1

Déplacez $r$ .

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 (r \cdot r^{5}) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.3.2

Multipliez $r$ par $r^{5}$ .

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Étape 5.14.4.3.2.1

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 (r^{1} r^{5}) + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{1 + 5} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.3.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$12 r^{8} + 12 \cdot - 1 r^{6} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.4

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{3} r^{3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.5

Multipliez $r^{3}$ par $r^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.4.5.1

Déplacez $r^{3}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 (r^{3} r^{3}) + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{3 + 3} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.5.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 r^{3} (- r) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{3} r + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.7

Multipliez $r^{3}$ par $r$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.14.4.7.1

Déplacez $r$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 (r \cdot r^{3}) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.7.2

Multipliez $r$ par $r^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.14.4.7.2.1

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 (r^{1} r^{3}) + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{1 + 3} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.7.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} + 12 \cdot - 1 r^{4} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.8

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{2} r^{3} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.9

Multipliez $r^{2}$ par $r^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.14.4.9.1

Déplacez $r^{3}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 (r^{3} r^{2}) + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{3 + 2} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.9.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 r^{2} (- r) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{2} r + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.11

Multipliez $r^{2}$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.4.11.1

Déplacez $r$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 (r \cdot r^{2}) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.11.2

Multipliez $r$ par $r^{2}$ .

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Étape 5.14.4.11.2.1

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 (r^{1} r^{2}) + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{1 + 2} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.11.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 2 \cdot - 1 r^{3} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.12

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} + 2 (- r) + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.4.13

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.5

Associez les termes opposés dans $12 r^{8} - 12 r^{6} + 12 r^{6} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r$ .

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Étape 5.14.5.1

Additionnez $- 12 r^{6}$ et $12 r^{6}$ .

$12 r^{8} + 0 - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.5.2

Additionnez $12 r^{8}$ et $0$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r^{3} + 2 r^{3} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.5.3

Additionnez $- 2 r^{3}$ et $2 r^{3}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} + 0 - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.5.4

Additionnez $12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5}$ et $0$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + ((r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.14.6.1

Développez $(r^{2} + 1) (3 r^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.14.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2} - 1) + 1 (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2} - 1) + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (r^{2} (3 r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.14.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.14.6.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2.1.2

Multipliez $r^{2}$ par $r^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.14.6.2.1.2.1

Déplacez $r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 (r^{2} r^{2}) + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{2 + 2} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} + r^{2} \cdot - 1 + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2.1.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 \cdot r^{2} + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2.1.4

Réécrivez $- 1 r^{2}$ comme $- r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 1 (3 r^{2}) + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2.1.5

Multipliez $3 r^{2}$ par $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 3 r^{2} + 1 \cdot - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - r^{2} + 3 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.6.2.2

Additionnez $- r^{2}$ et $3 r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} + 2 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.7

Associez les termes opposés dans $3 r^{4} + 2 r^{2} - 1 + 2 r^{4} - 2 r^{2}$ .

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Étape 5.14.7.1

Soustrayez $2 r^{2}$ de $2 r^{2}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 + 2 r^{4} + 0) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.7.2

Additionnez $3 r^{4} - 1 + 2 r^{4}$ et $0$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (3 r^{4} - 1 + 2 r^{4}) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.8

Additionnez $3 r^{4}$ et $2 r^{4}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + (5 r^{4} - 1) (3 r^{4} + 2 r - 1)$

Étape 5.14.9

Développez $(5 r^{4} - 1) (3 r^{4} + 2 r - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 r^{4} (3 r^{4}) + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.14.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{4} r^{4} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.2

Multipliez $r^{4}$ par $r^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.10.2.1

Déplacez $r^{4}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 (r^{4} r^{4}) + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{4 + 4} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 5 \cdot 3 r^{8} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 r^{4} (2 r) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{4} r + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.5

Multipliez $r^{4}$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.14.10.5.1

Déplacez $r$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 (r \cdot r^{4}) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.5.2

Multipliez $r$ par $r^{4}$ .

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Étape 5.14.10.5.2.1

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 (r^{1} r^{4}) + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{1 + 4} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.5.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 5 \cdot 2 r^{5} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} + 5 r^{4} \cdot - 1 - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.7

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 1 (3 r^{4}) - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 2 r - 1 \cdot - 1$

Étape 5.14.10.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 5 r^{4} - 3 r^{4} - 2 r + 1$

Étape 5.14.11

Soustrayez $3 r^{4}$ de $- 5 r^{4}$ .

$12 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 15 r^{8} + 10 r^{5} - 8 r^{4} - 2 r + 1$

Étape 5.15

Additionnez $12 r^{8}$ et $15 r^{8}$ .

$27 r^{8} - 12 r^{4} + 2 r^{5} - 2 r + 10 r^{5} - 8 r^{4} - 2 r + 1$

Étape 5.16

Soustrayez $8 r^{4}$ de $- 12 r^{4}$ .

$27 r^{8} + 2 r^{5} - 2 r + 10 r^{5} - 20 r^{4} - 2 r + 1$

Étape 5.17

Additionnez $2 r^{5}$ et $10 r^{5}$ .

$27 r^{8} + 12 r^{5} - 2 r - 20 r^{4} - 2 r + 1$

Étape 5.18

Soustrayez $2 r$ de $- 2 r$ .

$27 r^{8} + 12 r^{5} - 20 r^{4} - 4 r + 1$