Calcul infinitésimal Exemples

$R (x) = (40000 + \frac{10000}{4} x) (24 - x) + (40000 + \frac{10000}{4} x) (4)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 1.1

Divisez $10000$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x) + (40000 + \frac{10000}{4} x) (4)]$

Étape 1.2

Divisez $10000$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x) + (40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(40000 + 2500 x) (24 - x) + (40000 + 2500 x) \cdot 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$ .

$\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x)] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) (24 - x)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 40000 + 2500 x$ et $g (x) = 24 - x$ .

$(40000 + 2500 x) \frac{d}{d x} [24 - x] + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(40000 + 2500 x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- x]) + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.3

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(40000 + 2500 x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - \frac{d}{d x} [x]) + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x] + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40000 + 2500 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [2500 x]$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [2500 x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.7

Comme $40000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) (0 + \frac{d}{d x} [2500 x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.8

Comme $2500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2500 x$ par rapport à $x$ est $2500 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) (0 + 2500 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1 \cdot 1) + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(40000 + 2500 x) (0 - 1) + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.11

Soustrayez $1$ de $0$ .

$(40000 + 2500 x) \cdot - 1 + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.12

Déplacez $- 1$ à gauche de $40000 + 2500 x$ .

$- 1 \cdot (40000 + 2500 x) + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.13

Réécrivez $- 1 (40000 + 2500 x)$ comme $- (40000 + 2500 x)$ .

$- (40000 + 2500 x) + (24 - x) (0 + 2500 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.14

Multipliez $2500$ par $1$ .

$- (40000 + 2500 x) + (24 - x) (0 + 2500) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.15

Additionnez $0$ et $2500$ .

$- (40000 + 2500 x) + (24 - x) \cdot 2500 + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 2.16

Déplacez $2500$ à gauche de $24 - x$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + \frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(40000 + 2500 x) \cdot 4]$ .

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Étape 3.1

Déplacez $4$ à gauche de $40000 + 2500 x$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + \frac{d}{d x} [4 \cdot (40000 + 2500 x)]$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 (40000 + 2500 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x]$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 \frac{d}{d x} [40000 + 2500 x]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40000 + 2500 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [2500 x]$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (\frac{d}{d x} [40000] + \frac{d}{d x} [2500 x])$

Étape 3.4

Comme $40000$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40000$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (0 + \frac{d}{d x} [2500 x])$

Étape 3.5

Comme $2500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2500 x$ par rapport à $x$ est $2500 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (0 + 2500 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (0 + 2500 \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $2500$ par $1$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 (0 + 2500)$

Étape 3.8

Additionnez $0$ et $2500$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 4 \cdot 2500$

Étape 3.9

Multipliez $4$ par $2500$ .

$- (40000 + 2500 x) + 2500 (24 - x) + 10000$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 40000 - (2500 x) + 2500 (24 - x) + 10000$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 40000 - (2500 x) + 2500 \cdot 24 + 2500 (- x) + 10000$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $40000$ .

$- 40000 - (2500 x) + 2500 \cdot 24 + 2500 (- x) + 10000$

Étape 4.3.2

Multipliez $2500$ par $- 1$ .

$- 40000 - 2500 x + 2500 \cdot 24 + 2500 (- x) + 10000$

Étape 4.3.3

Multipliez $2500$ par $24$ .

$- 40000 - 2500 x + 60000 + 2500 (- x) + 10000$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 1$ par $2500$ .

$- 40000 - 2500 x + 60000 - 2500 x + 10000$

Étape 4.3.5

Additionnez $- 40000$ et $60000$ .

$- 2500 x + 20000 - 2500 x + 10000$

Étape 4.3.6

Soustrayez $2500 x$ de $- 2500 x$ .

$- 5000 x + 20000 + 10000$

Étape 4.3.7

Additionnez $20000$ et $10000$ .

$- 5000 x + 30000$