Calcul infinitésimal Exemples

$r (t) = - 6 t {(5 x^{4} - 1)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{d}{d t} [- 6 t ({(5 x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (5^{4} {(x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.2

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 {(x^{4})}^{4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{4}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{4 \cdot 4} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 {(5 x^{4})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.4

Appliquez la règle de produit à $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (5^{3} {(x^{4})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.5

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 {(x^{4})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{3}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 x^{4 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.6.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 4 (125 x^{12}) \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.7

Multipliez $125$ par $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} + 500 x^{12} \cdot - 1 + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.8

Multipliez $- 1$ par $500$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 {(5 x^{4})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.9

Appliquez la règle de produit à $5 x^{4}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (5^{2} {(x^{4})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.10

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 {(x^{4})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.11

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.11.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 x^{4 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.11.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 6 (25 x^{8}) {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.12

Multipliez $25$ par $6$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} {(- 1)}^{2} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} \cdot 1 + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.14

Multipliez $150$ par $1$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 4 (5 x^{4}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.15

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 20 x^{4} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.16

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} + 20 x^{4} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.17

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + {(- 1)}^{4})]$

Étape 2.18

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{d}{d t} [- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)]$

Étape 3

Comme $- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 6 t (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$ par rapport à $t$ est $- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1) \cdot 1$

Étape 5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 (625 x^{16} - 500 x^{12} + 150 x^{8} - 20 x^{4} + 1)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 6 (625 x^{16}) - 6 (- 500 x^{12}) - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Multipliez $625$ par $- 6$ .

$- 3750 x^{16} - 6 (- 500 x^{12}) - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 500$ par $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 6 (150 x^{8}) - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Étape 6.2.3

Multipliez $150$ par $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} - 6 (- 20 x^{4}) - 6 \cdot 1$

Étape 6.2.4

Multipliez $- 20$ par $- 6$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} + 120 x^{4} - 6 \cdot 1$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 3750 x^{16} + 3000 x^{12} - 900 x^{8} + 120 x^{4} - 6$