Calcul infinitésimal Exemples

$r (t) = t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} \cdot i + (1 - t) \cdot j + (\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [t^{2} \cdot i]$ .

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Étape 2.1

Comme $i$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $t^{2} i$ par rapport à $t$ est $i \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$i \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$i (2 t) + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$2 i t + \frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [(1 - t) \cdot j]$ .

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Étape 3.1

Comme $j$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $(1 - t) j$ par rapport à $t$ est $j \frac{d}{d t} [1 - t]$ .

$2 i t + j \frac{d}{d t} [1 - t] + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$2 i t + j (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 i t + j (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 i t + j (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 i t + j (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 i t + j (0 - 1) + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3.7

Soustrayez $1$ de $0$ .

$2 i t + j \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $j$ .

$2 i t - 1 \cdot j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 3.9

Réécrivez $- 1 j$ comme $- j$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d t} [(\frac{2}{3}) t^{3} \cdot k]$ .

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Étape 4.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{3}$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3}}{3} \cdot k]$

Étape 4.2

Associez $\frac{2 t^{3}}{3}$ et $k$ .

$2 i t - j + \frac{d}{d t} [\frac{2 t^{3} k}{3}]$

Étape 4.3

Comme $\frac{2 k}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{2 t^{3} k}{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 i t - j + \frac{2 k}{3} (3 t^{2})$

Étape 4.5

Associez $3$ et $\frac{2 k}{3}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k)}{3} t^{2}$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 i t - j + \frac{6 k}{3} t^{2}$

Étape 4.7

Associez $\frac{6 k}{3}$ et $t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{6 k t^{2}}{3}$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $6 k t^{2}$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3}$

Étape 4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 (1)}$

Étape 4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 i t - j + \frac{3 (2 k t^{2})}{3 \cdot 1}$

Étape 4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 i t - j + \frac{2 k t^{2}}{1}$

Étape 4.8.2.4

Divisez $2 k t^{2}$ par $1$ .

$2 i t - j + 2 k t^{2}$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 i t + 2 t^{2} k - j$