Calcul infinitésimal Exemples

$r (t) = e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{5 t} i + e^{5 t} \cos (t) j + e^{5 t} \sin (t) k$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} i] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [e^{5 t} i]$ .

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Étape 2.1

Comme $i$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $e^{5 t} i$ par rapport à $t$ est $i \frac{d}{d t} [e^{5 t}]$ .

$i \frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 5 t$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 t$ .

$i (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$i (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 t$ .

$i (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$i (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$i (e^{5 t} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$i (e^{5 t} \cdot 5) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2.6

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 t}$ .

$i (5 \cdot e^{5 t}) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 2.7

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$5 i e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t) j]$ .

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Étape 3.1

Comme $j$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $e^{5 t} \cos (t) j$ par rapport à $t$ est $j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)]$ .

$5 i e^{5 t} + j \frac{d}{d t} [e^{5 t} \cos (t)] + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = e^{5 t}$ et $g (t) = \cos (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}]) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 5 t$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t])) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.5

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (e^{5 t} \cdot 5)) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 3.8

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 t}$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t) k]$ .

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Étape 4.1

Comme $k$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $e^{5 t} \sin (t) k$ par rapport à $t$ est $k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k \frac{d}{d t} [e^{5 t} \sin (t)]$

Étape 4.2

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

Étape 4.3

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [e^{5 t}])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 5 t$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [5 t]))$

Étape 4.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [5 t]))$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $5 t$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t]))$

Étape 4.5

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t])))$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} (5 \cdot 1)))$

Étape 4.7

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (e^{5 t} \cdot 5))$

Étape 4.8

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 t}$ .

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t)) + \cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t) + \sin (t) (5 e^{5 t}))$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 i e^{5 t} + j (e^{5 t} (- \sin (t))) + j (\cos (t) (5 e^{5 t})) + k (e^{5 t} \cos (t)) + k (\sin (t) (5 e^{5 t}))$

Étape 5.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$5 i e^{5 t} + j e^{5 t} (- \sin (t)) + j \cos (t) (5 e^{5 t}) + k e^{5 t} \cos (t) + k \sin (t) (5 e^{5 t})$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$

Étape 5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 i e^{5 t} - e^{5 t} j \sin (t) + 5 e^{5 t} j \cos (t) + e^{5 t} k \cos (t) + 5 e^{5 t} k \sin (t)$ .

$5 i e^{5 t} - j e^{5 t} \sin (t) + 5 j e^{5 t} \cos (t) + k e^{5 t} \cos (t) + 5 k e^{5 t} \sin (t)$