Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \ln (| 7 x - 4 |)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | 7 x - 4 |$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| 7 x - 4 |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| 7 x - 4 |$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [| 7 x - 4 |]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 7 x - 4$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $7 x - 4$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Étape 2.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x - 4$ .

$\frac{1}{| 7 x - 4 |} (\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [7 x - 4])$

Étape 3

Multipliez $\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 |}$ par $\frac{1}{| 7 x - 4 |}$ .

$\frac{7 x - 4}{| 7 x - 4 | | 7 x - 4 |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Étape 4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{7 x - 4}{| (7 x - 4) (7 x - 4) |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Étape 5

Élevez $7 x - 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1} (7 x - 4) |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Étape 6

Élevez $7 x - 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1} {(7 x - 4)}^{1} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Étape 7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Étape 8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} \frac{d}{d x} [7 x - 4]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 10

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 12

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 13

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} (7 + 0)$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |} \cdot 7$

Étape 14.2

Associez $\frac{7 x - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$ et $7$ .

$\frac{(7 x - 4) \cdot 7}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Étape 14.3

Déplacez $7$ à gauche de $7 x - 4$ .

$\frac{7 \cdot (7 x - 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (7 x) + 7 \cdot - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Étape 15.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{49 x + 7 \cdot - 4}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Étape 15.2.2

Multipliez $7$ par $- 4$ .

$\frac{49 x - 28}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Étape 15.3

Factorisez $7$ à partir de $49 x - 28$ .

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Étape 15.3.1

Factorisez $7$ à partir de $49 x$ .

$\frac{7 (7 x) - 28}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Étape 15.3.2

Factorisez $7$ à partir de $- 28$ .

$\frac{7 (7 x) + 7 (- 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$

Étape 15.3.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (7 x) + 7 (- 4)$ .

$\frac{7 (7 x - 4)}{| {(7 x - 4)}^{2} |}$