Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{5 - x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{5 - x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 - x$ .

$\frac{(5 - x) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}] - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 3$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 3$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 8.3

Placez ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(5 - x) (\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 11

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 12.2

Multipliez $5 - x$ par $1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 14

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 15

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [- x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} - {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 17

Multipliez.

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Étape 17.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + 1 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 17.2

Multipliez ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 19

Multipliez ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{(5 - x) \frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20

Simplifiez

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Étape 20.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.1.1

Laissez $u_{2} = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 20.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{5 - x + 2 u_{2} \cdot u_{2}}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.1.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 20.1.1.2.1

Déplacez $u_{2}$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 (u_{2} \cdot u_{2})}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.1.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.3

Simplifiez

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Étape 20.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.1.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 20.1.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.1.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{5 - x + 2 {(x - 3)}^{1}}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.3.1.2

Simplifiez

$\frac{\frac{5 - x + 2 (x - 3)}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{5 - x + 2 x + 2 \cdot - 3}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{\frac{5 - x + 2 x - 6}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.3.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$\frac{\frac{- x + 2 x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.1.3.3

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.2

Associez des termes.

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Étape 20.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}}{{(5 - x)}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$

Étape 20.2.2

Multipliez $\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{{(5 - x)}^{2}}$ .

$\frac{x - 1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(5 - x)}^{2}}$