Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{e^{x}}{1 - 4 x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 1 - 4 x$ .

$\frac{(1 - 4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [- 4 x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} - e^{x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x} \cdot 1}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(1 - 4 x) e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 e^{x} - 4 x e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{e^{x} - 4 x e^{x} + 4 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Additionnez $e^{x}$ et $4 e^{x}$ .

$\frac{- 4 x e^{x} + 5 e^{x}}{{(1 - 4 x)}^{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 4 e^{x} x + 5 e^{x}}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 4 e^{x} x + 5 e^{x}$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 4 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- 4 x) + 5 e^{x}}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $5 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- 4 x) + e^{x} \cdot 5}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- 4 x) + e^{x} \cdot 5$ .

$\frac{e^{x} (- 4 x + 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{e^{x} (- (4 x) + 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{e^{x} (- (4 x) - 1 (- 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{e^{x} (- (4 x - 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.8

Réécrivez $- (4 x - 5)$ comme $- 1 (4 x - 5)$ .

$\frac{e^{x} (- 1 (4 x - 5))}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{e^{x} (4 x - 5)}{{(- 4 x + 1)}^{2}}$