Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{\ln (x - 1)}{x - 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x - 1)$ et $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{(x - 2) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x - 2) \frac{1}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x - 2$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Pour écrire $- \ln (x - 1)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} - \ln (x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Associez $- \ln (x - 1)$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2}{x - 1} + \frac{- \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x - \ln (x - 1) \cdot - 1}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.5.2

Multipliez $- \ln (x - 1) \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + 1 \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.5.2.2

Multipliez $\ln (x - 1)$ par $1$ .

$\frac{\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x - 2 - \ln (x - 1) x + \ln (x - 1)}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}}{{(x - 2)}^{2}}$ comme un produit.

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{x - 1}$ par $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x - 2 - x \ln (x - 1) + \ln (x - 1)}{(x - 1) {(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x \ln (x - 1) + x - 2 + \ln (x - 1)}{{(x - 2)}^{2} (x - 1)}$