Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{5 x - 2}{8 x + 3} + x^{3}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5 x - 2}{8 x + 3} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5 x - 2}{8 x + 3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x - 2}{8 x + 3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5 x - 2}{8 x + 3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x - 2$ et $g (x) = 8 x + 3$ .

$\frac{(8 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(8 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(8 x + 3) (5 \cdot 1 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(8 x + 3) (5 \cdot 1 + 0) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x + 3) (5 \cdot 1 + 0) - (5 x - 2) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) (5 \cdot 1 + 0) - (5 x - 2) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(8 x + 3) (5 \cdot 1 + 0) - (5 x - 2) (8 \cdot 1 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{(8 x + 3) (5 + 0) - (5 x - 2) (8 \cdot 1 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.11

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 5 - (5 x - 2) (8 \cdot 1 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.12

Déplacez $5$ à gauche de $8 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (8 x + 3) - (5 x - 2) (8 \cdot 1 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.13

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{5 (8 x + 3) - (5 x - 2) (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.14

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{5 (8 x + 3) - (5 x - 2) \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.15

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{5 (8 x + 3) - 8 (5 x - 2)}{{(8 x + 3)}^{2}} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5 (8 x + 3) - 8 (5 x - 2)}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (8 x) + 5 \cdot 3 - 8 (5 x - 2)}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (8 x) + 5 \cdot 3 - 8 (5 x) - 8 \cdot - 2}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{40 x + 5 \cdot 3 - 8 (5 x) - 8 \cdot - 2}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{40 x + 15 - 8 (5 x) - 8 \cdot - 2}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $5$ par $- 8$ .

$\frac{40 x + 15 - 40 x - 8 \cdot - 2}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$\frac{40 x + 15 - 40 x + 16}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.3.5

Soustrayez $40 x$ de $40 x$ .

$\frac{0 + 15 + 16}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $15$ .

$\frac{15 + 16}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.3.7

Additionnez $15$ et $16$ .

$\frac{31}{{(8 x + 3)}^{2}} + 3 x^{2}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + \frac{31}{{(8 x + 3)}^{2}}$