Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{x} + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{2 x} - 1$ et $g (x) = e^{x} + 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1] - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 e^{2 x} + 0) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Additionnez $2 e^{2 x}$ et $0$ .

$\frac{(e^{x} + 1) (2 e^{2 x}) - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 4.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) (e^{x} + 0)}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$\frac{2 (e^{x} + 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 e^{x} + 2 \cdot 1) e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - (e^{2 x} - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} + (- e^{2 x} - - 1) e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 e^{x} e^{2 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.1.1

Déplacez $e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} e^{x}) + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{2 x + x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.1.3

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 \cdot 1 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{2 x} e^{x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.3

Multipliez $e^{2 x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.3.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - (e^{x} e^{2 x}) - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{x + 2 x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.3.3

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} - - 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} + 1 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.1.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{2 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - e^{3 x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$

Étape 7.5.2

Soustrayez $e^{3 x}$ de $2 e^{3 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + e^{3 x} + e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$