Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = (x^{2} + 1) \arctan (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = \arctan (x)$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x + 0)$

Étape 3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 1) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x^{2} + 1$ par $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x)$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2} + 1$ et $1 + x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} + 2 x \arctan (x)$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + 2 x \arctan (x)$