Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = (7 x^{2} + 9) (8 x + \sqrt{x})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(7 x^{2} + 9) (8 x + x^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 7 x^{2} + 9$ et $g (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}] + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 9]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 10

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 12

Multipliez $2$ par $7$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 13

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x + 0)$

Étape 14

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1

Additionnez $14 x$ et $0$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (8 x + x^{\frac{1}{2}}) (14 x)$

Étape 14.2

Déplacez $14$ à gauche de $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (14 (8 x) + 14 x^{\frac{1}{2}}) x$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 (8 x) x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 15.3

Associez des termes.

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Étape 15.3.1

Multipliez $8$ par $14$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x \cdot x + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 15.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 15.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 (x^{1} x^{1}) + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 15.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{1 + 1} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 15.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{1}{2}} x$

Étape 15.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 15.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Étape 15.3.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 15.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Étape 15.3.10

Additionnez $2$ et $1$ .

$(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 112 x^{2} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$112 x^{2} + (7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.5.1

Développez $(7 x^{2} + 9) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$112 x^{2} + 7 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$112 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 8 + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.5.2.1

Multipliez $8$ par $7$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 15.5.2.2.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $7 x^{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.2.2

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (7 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$112 x^{2} + 56 x^{2} + 7 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.3

Associez $7$ et $\frac{1}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.4

Associez $x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{7}{2}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.5

Déplacez $7$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 9 \cdot 8 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.6

Multipliez $9$ par $8$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + 9 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.5.2.7

Associez $9$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$112 x^{2} + 56 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.6

Additionnez $112 x^{2}$ et $56 x^{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 14 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 15.7

Pour écrire $14 x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.8

Associez $14 x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.10.1

Factorisez $7 x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $7 x^{\frac{3}{2}} + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 15.10.1.1

Déplacez $x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.10.1.2

Factorisez $7 x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.10.1.3

Factorisez $7 x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $14 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.10.1.4

Factorisez $7 x^{\frac{3}{2}}$ à partir de $7 x^{\frac{3}{2}} (1) + 7 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.10.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$168 x^{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 15.10.4

Multipliez $5$ par $7$ .

$168 x^{2} + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 72 + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$